Mostre que

Passo 1

Então, a gente tem uma soma infinita dessa forma:
A questão pede para mostrar que essa soma dá . Vamos usar um pouco de álgebra e série para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como simplificar cada fração. Observe que cada termo tem a forma . Para facilitar, vamos decompor essa fração em frações parciais.

Passo 3

A decomposição em frações parciais diz que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa igualdade verdadeira.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 5

Expandindo a equação:
Agrupando os termos com :
Para essa igualdade ser verdade para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto:

Passo 6

Resolvendo as equações:
E como :
Então, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, vamos substituir de volta na soma original:
Podemos tirar o da soma:

Passo 8

Observando a soma , percebemos que ela é telescópica. Isso significa que muitos termos vão se cancelar.
Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:
Perceba que e se cancelam, assim como outros termos similares.

Passo 9

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondente para cancelar:
Portanto, a soma infinita simplifica para:

Passo 10

Voltando à nossa expressão original com o :

Resposta

A soma infinita é igual a .

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9. ,
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Em consideremos a seguinte relação de Equivalência
Determinar a correspondente partição de .