Mostre que
Passo 1
Então, a gente tem uma soma infinita dessa forma:
A questão pede para mostrar que essa soma dá
. Vamos usar um pouco de álgebra e série para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como simplificar cada fração. Observe que cada termo tem a forma
. Para facilitar, vamos decompor essa fração em frações parciais.
Passo 3
A decomposição em frações parciais diz que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa igualdade verdadeira.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 5
Expandindo a equação:
Agrupando os termos com
:
Para essa igualdade ser verdade para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto:
Passo 6
Resolvendo as equações:
E como
:
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, vamos substituir de volta na soma original:
Podemos tirar o
da soma:
Passo 8
Observando a soma
, percebemos que ela é telescópica. Isso significa que muitos termos vão se cancelar.
Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:
Perceba que
e
se cancelam, assim como outros termos similares.
Passo 9
Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondente para cancelar:
Portanto, a soma infinita simplifica para:
Passo 10
Voltando à nossa expressão original com o
:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.