Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa provar que é homogênea e depois resolver ela. O conteúdo que a gente vai usar aqui envolve equações diferenciais homogêneas e técnicas de resolução dessas equações. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como aplicar a substituição adequada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma é chamada de homogênea se as funções e forem homogêneas do mesmo grau. Ou seja, se ao multiplicar e por um fator , as funções e são multiplicadas por , onde é o grau da homogeneidade.
No nosso caso, a equação é:
Vamos verificar se e são homogêneas do mesmo grau.

Passo 3

Vamos testar a homogeneidade das funções e . Vamos substituir por e por :
  • Para :
  • Para :
Vemos que ambas as funções são multiplicadas por quando substituímos e por e , respectivamente. Isso significa que tanto quanto são funções homogêneas de grau 1. Portanto, a equação diferencial é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Com essa substituição, vamos expressar em termos de e , e derivar em relação a .
Definindo:
Vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, vamos dividir toda a equação por para facilitar a integração:
Isso nos dá:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar em termos de :
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar em termos de :
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de com relação a :
Calcule a integral de superficie.
4. ,
é a parte do paraboloide que está em frente ao plano
Calcule a integral
em que é a região do plano limitada pelo semicírculo e o eixo . Resp.: .
Mostre que