Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa provar que é homogênea e depois resolver ela. O conteúdo que a gente vai usar aqui envolve equações diferenciais homogêneas e técnicas de resolução dessas equações. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como aplicar a substituição adequada para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma
é chamada de homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau. Ou seja, se ao multiplicar
e
por um fator
, as funções
e
são multiplicadas por
, onde
é o grau da homogeneidade.
No nosso caso, a equação é:
Vamos verificar se
e
são homogêneas do mesmo grau.
Passo 3
Vamos testar a homogeneidade das funções
e
. Vamos substituir
por
e
por
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que ambas as funções são multiplicadas por
quando substituímos
e
por
e
, respectivamente. Isso significa que tanto
quanto
são funções homogêneas de grau 1. Portanto, a equação diferencial é homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição
. Com essa substituição, vamos expressar
em termos de
e
, e derivar
em relação a
.
Definindo:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, vamos dividir toda a equação por
para facilitar a integração:
Isso nos dá:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
em termos de
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
em termos de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos escrever de forma mais simples:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
com relação a
:
Calcule a integral de superficie.
4. ,
é a parte do paraboloide
que está em frente ao plano
4.
Calcule a integral
em que
é a região do plano limitada pelo semicírculo
e o eixo
. Resp.:
.
Mostre que