Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as: (x-y) dx + x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa provar que é homogênea e depois resolver ela. O conteúdo que a gente vai usar aqui envolve equações diferenciais homogêneas e técnicas de resolução dessas equações. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como aplicar a substituição adequada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma é chamada de homogênea se as funções M(x, y) e N(x, y) forem homogêneas do mesmo grau. Ou seja, se ao multiplicar x e y por um fator t, as funções M e N são multiplicadas por , onde n é o grau da homogeneidade.
No nosso caso, a equação é:
Vamos verificar se e são homogêneas do mesmo grau.

Passo 3

Vamos testar a homogeneidade das funções M e N. Vamos substituir x por t x e y por :
  • Para :
  • Para :
Vemos que ambas as funções são multiplicadas por quando substituímos x e y por t x e , respectivamente. Isso significa que tanto M quanto N são funções homogêneas de grau 1. Portanto, a equação diferencial é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Com essa substituição, vamos expressar y em termos de v e x, e derivar em relação a x.
Definindo:
Vamos derivar ambos os lados em relação a x:

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, vamos dividir toda a equação por para facilitar a integração:
Isso nos dá:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar v em termos de x:
Integrando:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar y em termos de x:
Multiplicando ambos os lados por x:
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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