Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
com relação a
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de
em relação a
. A função que vamos derivar é:
Vamos precisar saber como aplicar a derivação logarítmica, propriedades dos logaritmos e regras de derivação de funções exponenciais e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
para facilitar a derivação. Observe que temos
multiplicado por
, o que é igual a
. Também, sabemos que
. Então, substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a derivação logarítmica. Primeiro, tiramos o logaritmo natural dos dois lados da equação:
Usando a propriedade do logaritmo que transforma produtos em somas:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
Para
:
Para
:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
(regra da cadeia).
Derivando o lado direito:
Então, a derivada total do lado direito é:
Passo 6
Igualando as derivadas:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos na expressão:
Podemos simplificar essa expressão se necessário, mas essa é a derivada final usando a derivação logarítmica.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: