Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de com relação a :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de em relação a . A função que vamos derivar é:
Vamos precisar saber como aplicar a derivação logarítmica, propriedades dos logaritmos e regras de derivação de funções exponenciais e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de para facilitar a derivação. Observe que temos multiplicado por , o que é igual a . Também, sabemos que . Então, substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivação logarítmica. Primeiro, tiramos o logaritmo natural dos dois lados da equação:
Usando a propriedade do logaritmo que transforma produtos em somas:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
Para :
Para :
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que (regra da cadeia).
Derivando o lado direito:
Então, a derivada total do lado direito é:

Passo 6

Igualando as derivadas:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Lembrando que , substituímos na expressão:
Podemos simplificar essa expressão se necessário, mas essa é a derivada final usando a derivação logarítmica.

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Calcule a integral de superficie.
4. ,
é a parte do paraboloide que está em frente ao plano
Use a derivação implícita para determinar :
Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as:
Calcule a integral
em que é a região do plano limitada pelo semicírculo e o eixo . Resp.: .