Calcule: ; onde é a região limitada pela parábola e a reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região , que é delimitada pela parábola e pela reta . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e expressar a integral de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, subtraímos de ambos os lados:
Então, as soluções são e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos desenhar mentalmente as curvas para entender melhor a região . A parábola abre para cima e a reta é uma linha inclinada. Entre e , a reta está acima da parábola. Assim, para integrar sobre , para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 4

Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. A gente integra primeiro em relação a , de até , e depois em relação a , de até . Então:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Como não depende de , a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar os termos:

Passo 7

Agora, integramos esse resultado em relação a de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Então, somando tudo:

Passo 8

Agora, substituímos e :
Para :
Para :
Então, a integral vale:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Calcule:
Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano .