Calcule: ; onde é a região limitada pela parábola e a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região , que é delimitada pela parábola e pela reta . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e expressar a integral de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, subtraímos de ambos os lados:
Então, as soluções são e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos desenhar mentalmente as curvas para entender melhor a região . A parábola abre para cima e a reta é uma linha inclinada. Entre e , a reta está acima da parábola. Assim, para integrar sobre , para cada nesse intervalo, varia de até .
Passo 4
Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. A gente integra primeiro em relação a , de até , e depois em relação a , de até . Então:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Como não depende de , a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar os termos:
Passo 7
Agora, integramos esse resultado em relação a de 0 a 2: