Calcule: integral duplaD(4 x+2) d A; onde D é a região limitada pela parábola y=x^2 e a reta y=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região , que é delimitada pela parábola e pela reta . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e expressar a integral de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola x^2 = 2x e a reta x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, subtraímos de ambos os lados:
Então, as soluções são e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos desenhar mentalmente as curvas para entender melhor a região . A parábola abre para cima e a reta é uma linha inclinada. Entre e , a reta está acima da parábola. Assim, para integrar sobre , para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 4

Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. A gente integra primeiro em relação a integral duplaD (4x + 2) , dA = integral0^2 integralx^2^2x (4x + 2) , dy , dx , de até , e depois em relação a , de até . Então:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integralx^2^2x (4x + 2) , dy = (4x + 2) cdot (2x - x^2) = (4x + 2)(2x - x^2) . Como não depende de , a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar os termos:
(4x + 2)(2x - x^2) = 4x cdot 2x + 4x cdot (-x^2) + 2 cdot 2x + 2 cdot (-x^2) = 8x^2 - 4x^3 + 4x - 2x^2 = (8x^2 - 2x^2) + (-4x^3 + 4x) = 6x^2 - 4x^3 + 4x

Passo 7

Agora, integramos esse resultado em relação a integral0^2 (6x^2 - 4x^3 + 4x) , dx de 0 a 2:
integral 6x^2 , dx = 6 cdot x^33 = 2x^3 integral -4x^3 , dx = -4 cdot x^44 = -x^4 integral 4x , dx = 4 cdot x^22 = 2x^2
Vamos integrar termo a termo:
2x^3 - x^4 + 2x^2 |0^2
Então, somando tudo:

Passo 8

Agora, substituímos 2(2)^3 - (2)^4 + 2(2)^2 = 2 cdot 8 - 16 + 2 cdot 4 = 16 - 16 + 8 = 8 e 2(0)^3 - (0)^4 + 2(0)^2 = 0 - 0 + 0 = 0 :
Para 8 - 0 = 8 :
Para :
Então, a integral vale:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados