Calcule: integral triplaR(x^2+y z) d V ; R=[-1,0] times[1,2] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla , onde a região é definida por . Isso envolve o estudo de integrais múltiplas em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar integrar a função nas três dimensões , e , seguindo os limites dados para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral-1^0 (x^2 + y z) dx . A integral fica:
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 3

Integrando integral x^2 dx = x^33 em relação a [x^33]-1^0 = 0^33 - (-1)^33 = 0 - (-13) = 13 :
Avaliado de a :

Passo 4

Agora, integrando integral y z , dx = y z integral dx = y z cdot (x) |-1^0 = y z (0 - (-1)) = y z cdot 1 = y z em relação a :

Passo 5

Somando os resultados das integrais dos dois termos:
integral-1^0 (x^2 + y z) dx = 13 + y z

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral1^2 (13 + y z) dy , de a :
Vamos resolver novamente termo a termo.

Passo 7

Integrando integral 13 dy = 13 y em relação a 13 (2) - 13 (1) = 23 - 13 = 13 :
Avaliado de a :

Passo 8

Integrando integral y z , dy = z integral y , dy = z cdot y^22 em relação a z cdot (2^22 - 1^22) = z cdot (42 - 12) = z cdot 32 = 32 z :
Avaliado de a :

Passo 9

Somando os resultados das integrais dos dois termos:
integral1^2 (13 + y z) dy = 13 + 32 z

Passo 10

Finalmente, vamos integrar o resultado em relação a integral0^1 (13 + 32 z) dz , de a :
Novamente, resolvemos termo a termo.

Passo 11

Integrando integral 13 dz = 13 z em relação a 13 (1) - 13 (0) = 13 :
Avaliado de a :

Passo 12

Integrando integral 32 z , dz = 32 cdot z^22 = 34 z^2 em relação a 34 (1^2) - 34 (0^2) = 34 - 0 = 34 :
Avaliado de a :

Resposta

Somando os resultados das integrais:
13 + 34 = 412 + 912 = 1312
Então, o valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados