Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar o volume de um tetraedro que é limitado pelos planos coordenados (ou seja, os planos , e ) e pelo plano . Basicamente, vamos trabalhar com geometria analítica e cálculo para determinar esse volume. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o volume de formas tridimensionais usando integrais ou fórmulas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um poliedro com quatro faces, todas triangulares. No nosso caso, um dos vértices está na origem , e os outros três estão nas interseções do plano com os eixos coordenados.

Passo 3

Vamos encontrar essas interseções para saber onde o plano corta os eixos:
  • Interseção com o eixo : Colocamos e na equação do plano:
    Então, o ponto é .
  • Interseção com o eixo : Colocamos e :
    O ponto é .
  • Interseção com o eixo : Colocamos e :
    O ponto é .

Passo 4

Agora, temos os quatro vértices do tetraedro:

Passo 5

Para calcular o volume de um tetraedro com um vértice na origem e os demais nos pontos , e , usamos a fórmula:
Onde , e são os vetores que vão da origem até os pontos , e , respectivamente.

Passo 6

Vamos montar a matriz com esses vetores:
O determinante dessa matriz é:

Passo 7

Aplicando na fórmula do volume:

Resposta

O volume do tetraedro é de unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule:
Calcule: ; onde é a região limitada pela parábola e a reta
Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos e os 3 planos coordenados.
Calcule: