Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar o volume de um tetraedro que é limitado pelos planos coordenados (ou seja, os planos , e ) e pelo plano . Basicamente, vamos trabalhar com geometria analítica e cálculo para determinar esse volume. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o volume de formas tridimensionais usando integrais ou fórmulas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um poliedro com quatro faces, todas triangulares. No nosso caso, um dos vértices está na origem , e os outros três estão nas interseções do plano com os eixos coordenados.
Passo 3
Vamos encontrar essas interseções para saber onde o plano corta os eixos:
Interseção com o eixo : Colocamos e na equação do plano:
Então, o ponto é .
Interseção com o eixo : Colocamos e :
O ponto é .
Interseção com o eixo : Colocamos e :
O ponto é .
Passo 4
Agora, temos os quatro vértices do tetraedro:
Passo 5
Para calcular o volume de um tetraedro com um vértice na origem e os demais nos pontos , e , usamos a fórmula:
Onde , e são os vetores que vão da origem até os pontos , e , respectivamente.