Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série é convergente ou divergente. Se der, também vamos calcular a soma dela. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar alguns testes de convergência para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A gente sabe que pode ser escrita como , então:
Isso nos mostra que a série é uma progressão geométrica.

Passo 3

Para uma progressão geométrica da forma , a série converge se o valor absoluto de é menor que 1, ou seja, . Nesse caso, nosso é .
Vamos calcular o valor de :
Como , sabemos que a série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Aqui, é o primeiro termo da série. No nosso caso, quando :
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para encontrar o valor de :
Calculando numericamente:
Então:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é aproximadamente 1,542.

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Calcule:
Calcule: ; onde é a região limitada pela parábola e a reta