Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série
é convergente ou divergente. Se der, também vamos calcular a soma dela. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar alguns testes de convergência para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A gente sabe que
pode ser escrita como
, então:
Isso nos mostra que a série é uma progressão geométrica.
Passo 3
Para uma progressão geométrica da forma
, a série converge se o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
. Nesse caso, nosso
é
.
Vamos calcular o valor de
:
Como
, sabemos que a série converge.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Aqui,
é o primeiro termo da série. No nosso caso, quando
:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para encontrar o valor de
:
Calculando numericamente:
Então:
Resposta
A série
é convergente e a sua soma é aproximadamente 1,542.
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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Obtenha o valor, usando séries geométricas:
Calcule:
Calcule:
; onde
é a região limitada pela parábola
e a reta