Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=1^infty 1e^n2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série sumn=1^infty 1e^n2 é convergente ou divergente. Se der, também vamos calcular a soma dela. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar alguns testes de convergência para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A gente sabe que e^n2 pode ser escrita como (e^12)^n, então:
1e^n2 = (1e^12)^n
Isso nos mostra que a série é uma progressão geométrica.

Passo 3

Para uma progressão geométrica da forma sumn=1^infty ar^n-1, a série converge se o valor absoluto de r é menor que 1, ou seja, |r| < 1. Nesse caso, nosso r é 1e^12.
Vamos calcular o valor de r:
r = 1e^12 approx 11,6487 approx 0,6065
Como 0,6065 < 1, sabemos que a série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Aqui, a é o primeiro termo da série. No nosso caso, quando n=1:
a = 1e^12 = r
Então, substituindo na fórmula:
S = r1 - r = 1e^121 - 1e^12

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para encontrar o valor de S:
S = 1e^121 - 1e^12 = 1e^12 - 1
Calculando numericamente:
e^12 approx 1,6487
Então:
S approx 11,6487 - 1 approx 10,6487 approx 1,542

Resposta

A série sumn=1^infty 1e^n2 é convergente e a sua soma é aproximadamente 1,542.

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