Calcule: integral duplaR(1-6 x^2 y) d A ; R=[0,2] times[-1,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde a região é o retângulo . Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões planas. Para resolver isso, vamos precisar configurar os limites de integração corretamente e integrar em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está definida como , o que significa que varia de 0 a 2 e varia de -1 a 1. Isso nos dá os limites para as integrais internas e externas.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla usando os limites de integral0^2 integral-1^1 (1 - 6x^2y) , dy , dx e :
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de -1 a 1, e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 4

Vamos integrar a função integral-1^1 (1 - 6x^2y) , dy = [ y - 3x^2y^2 ]-1^1 em relação a (1 - 3x^2(1)^2) - (-1 - 3x^2(-1)^2) = (1 - 3x^2) - (-1 - 3x^2) = 1 - 3x^2 + 1 + 3x^2 = 2 :
Calculando nos limites de :
Então, a integral interna resulta em 2.

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 2 , dx = 2x |0^2 = 2(2) - 2(0) = 4 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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