Calcule onde é a região limitada pelas retas e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas retas , , e . Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo multivariável e realizar uma mudança de variáveis para simplificar a região de integração.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma mudança de variáveis que torne a região mais simples de descrever. Observando as equações das retas, percebemos que elas são paralelas em pares. Portanto, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
E subtraindo a segunda da primeira:

Passo 4

Precisamos calcular o determinante da Jacobiana para a mudança de variáveis. A Jacobiana é dada por:
O valor absoluto da Jacobiana é .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em termos de e . Substituindo e , a integral fica:
Onde é a nova região no plano , delimitada por:

Passo 6

Vamos agora calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se torna:
Calculando a integral em relação a :

Passo 7

Multiplicando todos os termos:

Resposta

A integral vale .

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