Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas retas , , e . Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo multivariável e realizar uma mudança de variáveis para simplificar a região de integração.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma mudança de variáveis que torne a região mais simples de descrever. Observando as equações das retas, percebemos que elas são paralelas em pares. Portanto, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
E subtraindo a segunda da primeira:
Passo 4
Precisamos calcular o determinante da Jacobiana para a mudança de variáveis. A Jacobiana é dada por:
O valor absoluto da Jacobiana é .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral em termos de e . Substituindo e , a integral fica: