Seja
a transformação dada por:
Determine
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma transformação
que mapeia pontos do espaço tridimensional
usando coordenadas esféricas. Nosso objetivo é determinar a imagem da região
através dessa transformação, ou seja, encontrar
. Para resolver isso, vamos entender como a transformação
funciona e como ela afeta a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a transformação
. Ela é definida por:
Essa é a fórmula de conversão de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (com relação ao eixo z), e
é o ângulo azimutal (no plano xy).
Passo 3
A região
define todos os pontos onde:
-
varia de 0 a 1, -
varia de 0 a (180 graus), -
varia de 0 a (360 graus).
Isso descreve todas as coordenadas esféricas que estão dentro de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos aplicar
a todos os pontos em
. Como
converte coordenadas esféricas em cartesianas,
será o conjunto de todos os pontos
obtidos pela transformação.
Passo 5
Vamos entender o que isso significa geometricamente. Como
, a distância dos pontos à origem é no máximo 1. Além disso,
e
variam sobre todos os possíveis ângulos que cobrem toda a esfera. Portanto, a imagem
será a esfera fechada de raio 1.
Resposta
A região
é a esfera fechada de raio 1 centrada na origem em
, ou seja: