Seja a transformação dada por: Determine , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma transformação que mapeia pontos do espaço tridimensional usando coordenadas esféricas. Nosso objetivo é determinar a imagem da região através dessa transformação, ou seja, encontrar . Para resolver isso, vamos entender como a transformação funciona e como ela afeta a região .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a transformação . Ela é definida por:
Essa é a fórmula de conversão de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (com relação ao eixo z), e é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

A região define todos os pontos onde:
  • varia de 0 a 1,
  • varia de 0 a (180 graus),
  • varia de 0 a (360 graus).
Isso descreve todas as coordenadas esféricas que estão dentro de uma esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Para encontrar , precisamos aplicar a todos os pontos em . Como converte coordenadas esféricas em cartesianas, será o conjunto de todos os pontos obtidos pela transformação.

Passo 5

Vamos entender o que isso significa geometricamente. Como , a distância dos pontos à origem é no máximo 1. Além disso, e variam sobre todos os possíveis ângulos que cobrem toda a esfera. Portanto, a imagem será a esfera fechada de raio 1.

Resposta

A região é a esfera fechada de raio 1 centrada na origem em , ou seja:

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