Calcule a integral fazendo a mudança .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Isso está ligado ao tópico de integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos usar uma mudança de coordenadas onde e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a mudança de variável. Estamos definindo e . Isso simplifica a integral, mas precisamos achar o Jacobiano dessa transformação para ajustar os limites de integração.

Passo 3

Vamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Aqui, temos:

[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =


= (1)(2) - (0)(-1) = 2
]
Então, o Jacobiano é 2.

Passo 4

Agora, vamos reescrever os limites de integração em termos de e . Originalmente, vai de 0 a 2, e para cada , vai de a .
Com e , podemos encontrar:
  • Quando , . Quando , .
  • Para : .
  • Para : .
Então, varia de 0 a 2 e varia de 0 a 2.

Passo 5

Vamos reescrever a integral com as novas variáveis. Lembrando que .
A expressão original em termos de e fica:
Então, a integral se transforma em:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Primeiro, vamos resolver a integral interna .

Passo 7

Para resolver , usamos a integração por partes, onde:
  • e
  • Então, e
Aplicando integração por partes:
Então,

Passo 8

Voltando à integral principal:
Agora, precisamos resolver .

Passo 9

Fazendo a substituição , então ou .
Reescrevendo a integral:

Passo 10

A integral é conhecida como a integral de uma função gama, que resulta em , mas como os limites são de 0 a , precisamos calcular:
Calculando:
Simplificando:

Passo 11

Voltando �� integral principal:

Resposta

A integral vale .

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