Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Isso está ligado ao tópico de integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos usar uma mudança de coordenadas onde e .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a mudança de variável. Estamos definindo e . Isso simplifica a integral, mas precisamos achar o Jacobiano dessa transformação para ajustar os limites de integração.
Passo 3
Vamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Aqui, temos:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
= (1)(2) - (0)(-1) = 2
]
Então, o Jacobiano é 2.
Passo 4
Agora, vamos reescrever os limites de integração em termos de e . Originalmente, vai de 0 a 2, e para cada , vai de a .
Com e , podemos encontrar:
Quando , . Quando , .
Para : .
Para : .
Então, varia de 0 a 2 e varia de 0 a 2.
Passo 5
Vamos reescrever a integral com as novas variáveis. Lembrando que .
A expressão original em termos de e fica:
Então, a integral se transforma em:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, vamos resolver a integral interna .
Passo 7
Para resolver , usamos a integração por partes, onde:
e
Então, e
Aplicando integração por partes:
Então,
Passo 8
Voltando à integral principal:
Agora, precisamos resolver .
Passo 9
Fazendo a substituição , então ou .
Reescrevendo a integral:
Passo 10
A integral é conhecida como a integral de uma função gama, que resulta em , mas como os limites são de 0 a , precisamos calcular: