Encontre o valor de
, onde
, sem realizar cálculos explícitos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor da integral tripla de
sobre a região
, e a gente tem que fazer isso sem entrar em cálculos complicados. Vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo integral para resolver isso de maneira simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Basicamente, ela serve para calcular o volume sob uma superfície em um espaço tridimensional. No nosso caso, estamos integrando a função
sobre a região
. A função
representa a altura em relação ao plano
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os limites de
na região
. Vimos que
varia de
a
, ou seja, de -3 até 3. Isso significa que para cada ponto na base da região (definida por
e
), o valor de
sobe até 3 e desce até -3.
Passo 4
Perceba que a região para
é simétrica em relação ao plano
. Isso quer dizer que para cada valor positivo de
(de 0 a 3), existe um valor negativo correspondente de
(de -3 a 0). Quando integramos
sobre essa região simétrica, os valores positivos e negativos se cancelam.
Passo 5
Então, sem fazer os cálculos detalhados, podemos concluir que a integral tripla de
sobre a região
será igual a zero, devido à simetria da função
em relação ao plano
.
Resposta
O valor da integral tripla é
.