É certo dizer que a área compreendida entre o gráfico da função seno e o eixo
de 0 a
é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a área entre o gráfico da função seno () e o eixo
de
a
é igual à integral . Para resolver isso, vamos precisar entender como as integrais representam áreas e como o comportamento da função seno influencia esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que a integral definida de uma função entre dois pontos calcula a “área líquida” entre o gráfico da função e o eixo
. Isso significa que áreas acima do eixo
são positivas e abaixo são negativas. No caso da função seno, ela é positiva de
a
e negativa de
a
.
Passo 3
Vamos calcular a integral :
Passo 4
O resultado foi zero! Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Mas a gente quer a área total, ou seja, sem considerar se está acima ou abaixo do eixo.
Passo 5
Para encontrar a área total, precisamos calcular a integral do valor absoluto da função seno. Isso garante que todas as áreas sejam positivas:
Passo 6
Sabemos que é positiva de
a
e negativa de
a
. Então, podemos dividir a integral em duas partes:
Passo 7
Calculando cada parte:
Passo 8
Somando as duas partes:
Resposta
Não, a área entre o gráfico da função seno e o eixo
de
a
não é dada pela integral , que resulta em zero. A área total é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere a função real
, dada por
.
(b) Calcule a área compreendida entre a curva e o eixo dos
no intervalo de 0 a
.
(b) Calcule a área compreendida entre a curva
Calcule
, onde
Considere a função
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
de
.
Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações