Considere a função real g, dada por g(x) = x * sen(x).
(b) Calcule a área compreendida entre a curva g e o eixo dos x no intervalo de 0 a pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a área entre essa curva e o eixo no intervalo de 0 a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais definidas que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, para achar a área entre a curva e o eixo , a gente vai usar a integral definida de de 0 a . A integral definida nos dá a soma das áreas infinitesimais sob a curva no intervalo especificado.

Passo 3

Então, a expressão que vamos calcular é:
Isso significa que queremos integrar a função de 0 a .

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar o método da integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
A gente precisa identificar as partes e na nossa integral.

Passo 5

Escolhemos:
Aqui, derivamos para achar e integramos para achar .

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
A gente substituiu , , , e na fórmula.

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Então, a expressão fica:

Passo 8

Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a :
Isso significa que vamos substituir por e por 0 e subtrair os resultados.

Passo 9

Calculando em :
Calculando em :

Passo 10

Subtraindo os dois resultados:
Então, a área é .

Resposta

A área compreendida entre a curva e o eixo dos no intervalo de 0 a é unidades de área.

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