Considere a função real
, dada por
.
(b) Calcule a área compreendida entre a curva
e o eixo dos
no intervalo de 0 a
.
(b) Calcule a área compreendida entre a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa calcular a área entre essa curva e o eixo
no intervalo de 0 a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais definidas que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, para achar a área entre a curva
e o eixo
, a gente vai usar a integral definida de
de 0 a
. A integral definida nos dá a soma das áreas infinitesimais sob a curva no intervalo especificado.
Passo 3
Então, a expressão que vamos calcular é:
Isso significa que queremos integrar a função
de 0 a
.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar o método da integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
A gente precisa identificar as partes
e
na nossa integral.
Passo 5
Escolhemos:
Aqui, derivamos
para achar
e integramos
para achar
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes:
A gente substituiu
,
,
, e
na fórmula.
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a
:
Isso significa que vamos substituir
por
e por 0 e subtrair os resultados.
Passo 9
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 10
Subtraindo os dois resultados:
Então, a área é
.
Resposta
A área compreendida entre a curva
e o eixo dos
no intervalo de 0 a
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo para cada uma das funções a seguir:
dada por
É certo dizer que a área compreendida entre o gráfico da função seno e o eixo
de 0 a
é dada por:
Considere a função
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
de
.