Um fio tem um formato de um círculo x^2 + y^2 = a^2. Determine sua massa se a densidade no ponto (x, y) é |x| + |y|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a massa de um fio que forma um círculo definido pela equação . A densidade nesse fio varia de ponto para ponto e é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração ao longo de uma curva. Precisamos parametrizar o círculo e então integrar a densidade ao longo dessa trajetória para encontrar a massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas polares. Podemos definir:
Onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a densidade em termos de . Substituindo as parametrizações:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o elemento de comprimento do círculo. Em coordenadas polares, temos:

Passo 5

Para encontrar a massa , integramos a densidade multiplicada pelo elemento de comprimento ao longo de toda a curva:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Portanto:

Resposta

A massa do fio é .

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a) ly^prime-3 y=de
b) ly^prime prime+y=de
c) ly^prime prime+y=de
d) ly^prime prime-2 y^prime=1+de
e) ly^prime prime+4 y^prime+13 y=de
f) ly^prime prime+2 y^prime+y=de
g) ly^prime prime-7 y^prime+6 y=e^t+de
Considere o campo vetorial
F(x, y) = ln(y^2 + 1) i + (2y(x - 1))/(y^2 + 1) j
Determine se F é ou não conservativo.
Calcule a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
integralC z d s, onde C tem equação vetorial
r(t)=t cos t i+t sin t j+t k, 0 <= t <= t0
Calcule a integral integral duplaD e^y^4 d A onde D é a região limitada pelas retas y=-1, y=1, x=0 e pela cúbica x=y^3.