Um fio tem um formato de um círculo
. Determine sua massa se a densidade no ponto
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a massa de um fio que forma um círculo definido pela equação
. A densidade nesse fio varia de ponto para ponto e é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração ao longo de uma curva. Precisamos parametrizar o círculo e então integrar a densidade ao longo dessa trajetória para encontrar a massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o círculo. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas polares. Podemos definir:
Onde
varia de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a densidade
em termos de
. Substituindo as parametrizações:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o elemento de comprimento
do círculo. Em coordenadas polares, temos:
Passo 5
Para encontrar a massa
, integramos a densidade multiplicada pelo elemento de comprimento ao longo de toda a curva:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Portanto:
Resposta
A massa do fio é
.
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Considere o campo vetorial
Determine se
é ou não conservativo.
Calcule a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
, onde
tem equação vetorial
Calcule a integral
onde
é a região limitada pelas retas
,
e pela cúbica
.