Calcule onde é a região triangular com vértices nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região triangular , que tem vértices nos pontos , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões geométricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração que descrevem essa região triangular e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Os vértices são , e . Vamos traçar esses pontos no plano xy para visualizar o triângulo.

Passo 3

Depois de desenhar, percebemos que a base do triângulo vai de a . Para cada valor de , vamos determinar os limites de . Observando o triângulo, vemos que para , a parte inferior do triângulo é a linha que liga a , e para , a parte inferior é a linha que liga a .

Passo 4

Vamos encontrar as equações dessas linhas para determinar os limites de .
  • Para a linha de a :
    • A inclinação é .
    • A equação é .
  • Para a linha de a :
    • A inclinação é .
    • A equação é .
A parte superior do triângulo é a linha horizontal .

Passo 5

Agora, vamos definir a integral dupla dividindo em duas partes, já que a região tem dois segmentos na parte inferior.

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, aplicando os limites:
Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Vamos calcular a segunda integral:
Novamente, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter o valor total da integral dupla:
Após realizar todos os cálculos das integrais definidas, chegamos ao valor final.

Resposta

Após calcular as integrais, o valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração e resolva as integrais:
Resolva as inequações:
(h) .
Determine o volume do sólido dado. Delimitado pelo paraboloide e pelos planos
é limitada pelo círculo de centro na origem
é raio 2