Calcule onde é a região triangular com vértices nos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região triangular , que tem vértices nos pontos , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões geométricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração que descrevem essa região triangular e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Os vértices são , e . Vamos traçar esses pontos no plano xy para visualizar o triângulo.
Passo 3
Depois de desenhar, percebemos que a base do triângulo vai de a . Para cada valor de , vamos determinar os limites de . Observando o triângulo, vemos que para , a parte inferior do triângulo é a linha que liga a , e para , a parte inferior é a linha que liga a .
Passo 4
Vamos encontrar as equações dessas linhas para determinar os limites de .
Para a linha de a :
A inclinação é .
A equação é .
Para a linha de a :
A inclinação é .
A equação é .
A parte superior do triângulo é a linha horizontal .
Passo 5
Agora, vamos definir a integral dupla dividindo em duas partes, já que a região tem dois segmentos na parte inferior.
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, aplicando os limites:
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Vamos calcular a segunda integral:
Novamente, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter o valor total da integral dupla:
Após realizar todos os cálculos das integrais definidas, chegamos ao valor final.
Resposta
Após calcular as integrais, o valor da integral dupla é .