Calcule integral duplaD y^3 d A onde D é a região triangular com vértices nos pontos (0,2),(1,1) e (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região triangular , que tem vértices nos pontos , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões geométricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração que descrevem essa região triangular e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Os vértices são , e . Vamos traçar esses pontos no plano xy para visualizar o triângulo.

Passo 3

Depois de desenhar, percebemos que a base do triângulo vai de a . Para cada valor de , vamos determinar os limites de . Observando o triângulo, vemos que para , a parte inferior do triângulo é a linha que liga a , e para , a parte inferior é a linha que liga a .

Passo 4

Vamos encontrar as equações dessas linhas para determinar os limites de .
  • Para a linha de a :
    • A inclinação é .
    • A equação é .
  • Para a linha de a :
    • A inclinação é .
    • A equação é .
A parte superior do triângulo é a linha horizontal .

Passo 5

Agora, vamos definir a integral dupla dividindo em duas partes, já que a região integral duplaD y^3 , dA = integral0^1 integral12x + 12^-x + 2 y^3 , dy , dx + integral1^3 integral12x + 12^2 y^3 , dy , dx tem dois segmentos na parte inferior.

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 integral12x + 12^-x + 2 y^3 , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral y^3 , dy = y^44 :
[ y^44 ]12x + 12^-x + 2 = (-x + 2)^44 - (12x + 12)^44
Então, aplicando os limites:
integral0^1 ( (-x + 2)^44 - (12x + 12)^44 ) dx
Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Vamos calcular a segunda integral:
integral1^3 integral12x + 12^2 y^3 , dy , dx
Novamente, integramos em relação a [ y^44 ]12x + 12^2 = 2^44 - (12x + 12)^44 = 164 - (12x + 12)^44 = 4 - (12x + 12)^44 :
integral1^3 ( 4 - (12x + 12)^44 ) dx
Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter o valor total da integral dupla:
integral duplaD y^3 , dA = ( Resu
Após realizar todos os cálculos das integrais definidas, chegamos ao valor final.

Resposta

Após calcular as integrais, o valor da integral dupla é .

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