Calcule
onde
é a região triangular com vértices nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região triangular
, que tem vértices nos pontos
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões geométricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração que descrevem essa região triangular e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Os vértices são
,
e
. Vamos traçar esses pontos no plano xy para visualizar o triângulo.
Passo 3
Depois de desenhar, percebemos que a base do triângulo vai de
a
. Para cada valor de
, vamos determinar os limites de
. Observando o triângulo, vemos que para
, a parte inferior do triângulo é a linha que liga
a
, e para
, a parte inferior é a linha que liga
a
.
Passo 4
Vamos encontrar as equações dessas linhas para determinar os limites de
.
-
Para a linha de
a : - A inclinação
é . - A equação é
.
- A inclinação
-
Para a linha de
a : - A inclinação
é . - A equação é
.
- A inclinação
A parte superior do triângulo é a linha horizontal
.
Passo 5
Agora, vamos definir a integral dupla dividindo em duas partes, já que a região
tem dois segmentos na parte inferior.
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, aplicando os limites:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Vamos calcular a segunda integral:
Novamente, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter o valor total da integral dupla:
Após realizar todos os cálculos das integrais definidas, chegamos ao valor final.
Resposta
Após calcular as integrais, o valor da integral dupla é
.