é limitada pelo círculo de centro na origem
é raio 2
é raio 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um círculo com centro na origem e raio 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões circulares. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Como
é um círculo de raio 2, os limites para
vão de 0 a 2 e para
vão de 0 a
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral na forma de coordenadas polares substituindo
e
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Calculando a integral interna
:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos resolver as integrais em
:
Isso porque as funções seno e cosseno têm médias iguais a zero em um período completo de
.
Passo 6
Substituindo os resultados:
Resposta
A integral dupla
é igual a 0.
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Determine o volume do sólido dado. Delimitado pelo paraboloide
e pelos planos
Calcule
onde
é a região triangular com vértices nos pontos
e
.