integral duplaD^D(2 x-y) d A, D é limitada pelo círculo de centro na origem
é raio 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla de sobre a região , que é um círculo com centro na origem e raio 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões circulares. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = r cos(theta) para polares y = r sin(theta) :
dA = r , dr , dtheta
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Como é um círculo de raio 2, os limites para vão de 0 a 2 e para vão de 0 a .

Passo 3

Vamos reescrever a integral na forma de coordenadas polares substituindo integral duplaD (2x - y) , dA = integral0^2pi integral0^2 (2rcos(theta) - rsin(theta)) r , dr , dtheta e = integral0^2pi integral0^2 (2r^2cos(theta) - r^2sin(theta)) , dr , dtheta :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
= 2 integral0^2pi cos(theta) (integral0^2 r^2 , dr) dtheta - integral0^2pi sin(theta) (integral0^2 r^2 , dr) dtheta
Calculando a integral interna integral0^2 r^2 , dr = [r^33]0^2 = 83 :
= 2 cdot 83 integral0^2pi cos(theta) , dtheta - 83 integral0^2pi sin(theta) , dtheta
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos resolver as integrais em integral0^2pi cos(theta) , dtheta = 0 :
integral0^2pi sin(theta) , dtheta = 0
Isso porque as funções seno e cosseno têm médias iguais a zero em um período completo de .

Passo 6

Substituindo os resultados:
2 cdot 83 cdot 0 - 83 cdot 0 = 0

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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