é limitada pelo círculo de centro na origem
é raio 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla de sobre a região , que é um círculo com centro na origem e raio 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões circulares. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares :
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Como é um círculo de raio 2, os limites para vão de 0 a 2 e para vão de 0 a .

Passo 3

Vamos reescrever a integral na forma de coordenadas polares substituindo e :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Calculando a integral interna :
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos resolver as integrais em :
Isso porque as funções seno e cosseno têm médias iguais a zero em um período completo de .

Passo 6

Substituindo os resultados:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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