Inverta a ordem de integração e resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla e resolvê-la. O conteúdo está relacionado a cálculo integral, especialmente a técnica de trocar a ordem de integração em integrais duplas. Vamos precisar entender os limites de integração e como reorganizá-los para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, olha só a integral original: . Aqui, estamos integrando de até 1, e depois de 0 até 1. Para inverter a ordem, precisamos descobrir como os limites mudam quando começamos integrando em primeiro e depois em .

Passo 3

Visualizando a região de integração no plano XY, vai de 0 a 1, e para cada , vai de até 1. Se invertermos, para cada de 0 a 1, vai de 0 até . Então, a integral invertida fica: .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral invertida. Note que não depende de , então a integral interna em relação a é simples: .

Passo 5

Substituindo na integral externa, temos: . Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 6

Com a substituição, a integral fica: . Integrando , obtemos .

Resposta

A integral vale .

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