Inverta a ordem de integração e resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla e resolvê-la. O conteúdo está relacionado a cálculo integral, especialmente a técnica de trocar a ordem de integração em integrais duplas. Vamos precisar entender os limites de integração e como reorganizá-los para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, olha só a integral original:
. Aqui, estamos integrando
de
até 1, e depois
de 0 até 1. Para inverter a ordem, precisamos descobrir como os limites mudam quando começamos integrando em
primeiro e depois em
.
Passo 3
Visualizando a região de integração no plano XY,
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de
até 1. Se invertermos, para cada
de 0 a 1,
vai de 0 até
. Então, a integral invertida fica:
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral invertida. Note que
não depende de
, então a integral interna em relação a
é simples:
.
Passo 5
Substituindo na integral externa, temos:
. Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Com a substituição, a integral fica:
. Integrando
, obtemos
.
Resposta
A integral vale
.