Inverta a ordem de integração e resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla e resolvê-la. O conteúdo está relacionado a cálculo integral, especialmente a técnica de trocar a ordem de integração em integrais duplas. Vamos precisar entender os limites de integração e como reorganizá-los para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, olha só a integral original: . Aqui, estamos integrando de até 1, e depois de 0 até 1. Para inverter a ordem, precisamos descobrir como os limites mudam quando começamos integrando em primeiro e depois em .
Passo 3
Visualizando a região de integração no plano XY, vai de 0 a 1, e para cada , vai de até 1. Se invertermos, para cada de 0 a 1, vai de 0 até . Então, a integral invertida fica: .
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral invertida. Note que não depende de , então a integral interna em relação a é simples: .
Passo 5
Substituindo na integral externa, temos: . Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja , então , ou seja, .
Passo 6
Com a substituição, a integral fica: . Integrando , obtemos .