Determine o volume do sólido dado. Delimitado pelo paraboloide e pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o volume de um sólido que está entre um paraboloide dado por e os planos , , e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma técnica da matemática para calcular volumes de regiões delimitadas por superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. O paraboloide abre para cima a partir da origem. Os planos representam o eixo xy, e os planos , e definem os limites laterais dessa região.
Passo 3
Vamos desenhar o plano xy para visualizar melhor os limites de integração. No plano xy:
é o eixo y.
é uma linha horizontal.
é uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus.
A interseção dessas linhas forma um triângulo onde vamos integrar.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo no plano xy:
varia de 0 até 1, porque é o limite superior e começa em 0.
Para cada valor de , varia de até .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos configurar a integral dupla para calcular o volume. A expressão geral para o volume é:
Aqui, é a função que representa o paraboloide, e estamos integrando sobre a região delimitada.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa e resolvemos em relação a :