Determine o volume do sólido dado. Delimitado pelo paraboloide z=x^2+3 y^2 e pelos planos x=0, y=1, y=x e z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o volume de um sólido que está entre um paraboloide dado por e os planos , , e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma técnica da matemática para calcular volumes de regiões delimitadas por superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. O paraboloide abre para cima a partir da origem. Os planos representam o eixo xy, e os planos , e definem os limites laterais dessa região.

Passo 3

Vamos desenhar o plano xy para visualizar melhor os limites de integração. No plano xy:
  • é o eixo y.
  • é uma linha horizontal.
  • é uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus.
A interseção dessas linhas forma um triângulo onde vamos integrar.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo no plano xy:
  • varia de 0 até 1, porque é o limite superior e começa em 0.
  • Para cada valor de , varia de até .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos configurar a integral dupla para calcular o volume. A expressão geral para o volume é:
V = integralx=0^1 integraly=x^1 (x^2 + 3y^2) , dy , dx
Aqui, é a função que representa o paraboloide, e estamos integrando sobre a região delimitada.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=x^1 (x^2 + 3y^2) , dy = x^2(y) + y^3 |y=x^1 :
x^2(1) + 1^3 - [x^2(x) + x^3] = x^2 + 1 - x^3 - x^3 = x^2 + 1 - 2x^3
Substituindo os limites:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa e resolvemos em relação a V = integral0^1 (x^2 + 1 - 2x^3) , dx = x^33 + x - 2x^44 |0^1 :
V = ( 13 + 1 - 12 ) - 0 = 13 + 1 - 12 = 56
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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