Calcule
, onde
está entre as esferas
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral tripla de
sobre a região
que está entre duas esferas: uma de raio 2 (
) e outra de raio 3 (
). A matéria envolvida aqui é o cálculo em coordenadas esféricas, que facilita bastante quando estamos trabalhando com esferas. Vamos precisar mudar para coordenadas esféricas e usar a fórmula do volume nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, cada ponto no espaço é representado por três valores:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo a partir do eixo z). A vantagem de usar coordenadas esféricas aqui é que as esferas que delimitam a região
ficam muito mais fáceis de descrever.
A relação entre coordenadas cartesianas (
) e esféricas (
) é:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em coordenadas esféricas. Usando as relações acima:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
está entre as esferas de raio 2 e 3, o valor de
varia de 2 a 3. Para
, que é o ângulo ao redor do eixo z, ele varia de 0 a
. E
, que é o ângulo a partir do eixo z, varia de 0 a
.
Então, nossos limites são:
-
de 2 a 3 -
de 0 a -
de 0 a
Passo 5
Vamos montar a integral tripla com esses limites:
Primeiro, a gente integra em relação a
:
Passo 6
Agora, a gente integra em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a identidade:
Fazendo uma substituição
,
, a integral fica:
Passo 7
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Portanto, o valor da integral tripla é:
Exercícios relacionados
Determine as integrais a seguir:
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(a) ;
$(a)
Determine as integrais a seguir:
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(e) .
$(e)