Calcule integral duplaE(x^2+y^2) d V, onde E está entre as esferas x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral tripla de sobre a região que está entre duas esferas: uma de raio 2 ( ) e outra de raio 3 ( ). A matéria envolvida aqui é o cálculo em coordenadas esféricas, que facilita bastante quando estamos trabalhando com esferas. Vamos precisar mudar para coordenadas esféricas e usar a fórmula do volume nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, cada ponto no espaço é representado por três valores: x = rho sinphi costheta (a distância do ponto até a origem), y = rho sinphi sintheta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e z = rho cosphi (o ângulo a partir do eixo z). A vantagem de usar coordenadas esféricas aqui é que as esferas que delimitam a região dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta ficam muito mais fáceis de descrever.
A relação entre coordenadas cartesianas ( ) e esféricas ( ) é:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função que estamos integrando, x^2 + y^2 = (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = rho^2 sin^2phi , em coordenadas esféricas. Usando as relações acima:
integral triplaE (x^2 + y^2) , dV = integral triplaE rho^2 sin^2phi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE rho^4 sin^3phi , drho , dphi , dtheta
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como está entre as esferas de raio 2 e 3, o valor de varia de 2 a 3. Para , que é o ângulo ao redor do eixo z, ele varia de 0 a . E , que é o ângulo a partir do eixo z, varia de 0 a .
Então, nossos limites são:
  • de 2 a 3
  • de 0 a
  • de 0 a

Passo 5

Vamos montar a integral tripla com esses limites:
integral0^2pi integral0^pi integral2^3 rho^4 sin^3phi , drho , dphi , dtheta
Primeiro, a gente integra em relação a integral2^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]2^3 = 3^55 - 2^55 = 2435 - 325 = 2115 :

Passo 6

Agora, a gente integra em relação a integral0^pi sin^3phi , dphi :
sin^3phi = sinphi (1 - cos^2phi)
Para resolver essa integral, usamos a identidade:
integral1^-1 (1 - u^2) (-du) = integral-1^1 (1 - u^2) , du = [ u - u^33 ]-1^1 = (1 - 13) - (-1 + (-1)^33) = (23) - (-43) = 2
Fazendo uma substituição , , a integral fica:

Passo 7

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais:
2115 times 2 times 2pi = 4225 pi
Portanto, o valor da integral tripla é:
boxed4225 pi

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Determine as integrais a seguir: integral(x^3+1)^4 x^2 d x
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(a) a;
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Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(e) e.