Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(e) e.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos decidir se essa sequência converge ou não. Para isso, vamos precisar entender sobre o comportamento de sequências e como comparar o crescimento de funções diferentes, como exponenciais e lineares.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento dos termos da sequência quando se aproxima do infinito. Temos:
  • No numerador, temos , que é uma função exponencial e cresce muito rapidamente conforme aumenta.
  • No denominador, temos , que é uma função linear e cresce de forma constante conforme aumenta.
Teoria aplicada: Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Então, à medida que fica muito grande, o numerador vai aumentar muito mais rapidamente do que o denominador .

Passo 3

Para formalizar, podemos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Como já mencionamos, cresce exponencialmente enquanto apenas linearmente. Portanto, o limite tende a infinito.

Resposta

A sequência não converge; ela tende ao infinito conforme aumenta.

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