Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(e)
.
$(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
e precisamos decidir se essa sequência converge ou não. Para isso, vamos precisar entender sobre o comportamento de sequências e como comparar o crescimento de funções diferentes, como exponenciais e lineares.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento dos termos da sequência quando
se aproxima do infinito. Temos:
- No numerador, temos
, que é uma função exponencial e cresce muito rapidamente conforme aumenta. - No denominador, temos
, que é uma função linear e cresce de forma constante conforme aumenta.
Teoria aplicada: Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Então, à medida que
fica muito grande, o numerador
vai aumentar muito mais rapidamente do que o denominador
.
Passo 3
Para formalizar, podemos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Como já mencionamos,
cresce exponencialmente enquanto
apenas linearmente. Portanto, o limite tende a infinito.
Resposta
A sequência
não converge; ela tende ao infinito conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Determine as integrais a seguir:
Calcule
, onde
está entre as esferas
.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Determine as integrais a seguir: