Determine as integrais a seguir: integral(x^3+1)^4 x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(x^3+1)^4 x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve uma função composta, onde uma função está dentro de outra elevada a uma potência. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração ao simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função composta vamos substituir por uma nova variável. Observando a integral, podemos escolher u = x^3 + 1. Isso porque a derivada de u em relação a x vai simplificar o restante da expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 3x^2
Isso significa que:
du = 3x^2 , dx
Queremos expressar x^2 , dx em termos de du, então dividimos ambos os lados por 3:
x^2 , dx = du3

Passo 4

Substituímos u e x^2 , dx na integral original:
integral(x^3+1)^4 x^2 , dx = integral u^4 cdot du3 = 13 integral u^4 , du
Aqui, simplificamos a integral substituindo as expressões correspondentes.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Multiplicando pela constante 13 que estava na frente:
13 cdot u^55 = u^515 + C

Passo 6

Por fim, retornamos à variável original x substituindo u = x^3 + 1:
u^515 + C = (x^3 + 1)^515 + C

Resposta

A integral integral(x^3+1)^4 x^2 , dx é igual a (x^3 + 1)^515 + C.

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