Determine as integrais a seguir: integral x^3 raizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando substituição trigonométrica ou substituição simples. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Isso nos ajuda porque a expressão fica mais simples com essa substituição.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral x^3 raizx^2-1 , dx = integral x^3 raizu , dx :
integral x (u + 1) raizu , dx
Sabemos que integral (u + 1) raizu cdot du2 = 12 integral (u + 1) u^1/2 , du , então . Substituindo isso na integral:
Usando a relação :

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(u + 1) u^1/2 = u^3/2 + u^1/2
Então, a integral fica:
12 integral ( u^3/2 + u^1/2 ) , du

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 e integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Multiplicando por 12 ( 25 u^5/2 + 23 u^3/2 ) = 15 u^5/2 + 13 u^3/2 :

Passo 7

Finalmente, substituímos 15 (x^2 - 1)^5/2 + 13 (x^2 - 1)^3/2 + C de volta na expressão:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 15 (x^2 - 1)^5/2 + 13 (x^2 - 1)^3/2 + C é igual a:

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