Sob que condições a função
satisfaz à equação de Laplace
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e queremos descobrir sob que condições essa função satisfaz a Equação de Laplace, que é
. Vamos precisar entender como aplicar essa equação na nossa função para encontrar as relações entre os coeficientes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Laplace. Em duas dimensões, ela é dada por:
Isso significa que a soma das segundas derivadas de
em relação a
e
deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da nossa função
.
Primeiro, a derivada segunda em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada segunda em relação a
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Equação de Laplace juntando as duas segundas derivadas:
Passo 6
Para que a equação seja satisfeita, a soma
deve ser igual a zero. Simplificando:
Resposta
A condição necessária para que a função
satisfaça a Equação de Laplace é:
Exercícios relacionados
Seja
dada pela lei:
. Determine:
Calcule
, onde
está delimitado pelos planos
, pelos cilindros
.
Pode-se obter aproximações de
utilizando a sequência recursiva
, onde
.
(a) Encontre as aproximações para
.
(b) Mostre que, se , então
.
(a) Encontre as aproximações
(b) Mostre que, se
Se
é dada por:
se
e
, prove que:
(a) A função é contínua na origem.
(a) A função