Sob que condições a função u(x, y) = A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F satisfaz à equação de Laplace Delta u = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos descobrir sob que condições essa função satisfaz a Equação de Laplace, que é . Vamos precisar entender como aplicar essa equação na nossa função para encontrar as relações entre os coeficientes e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Laplace. Em duas dimensões, ela é dada por:
Isso significa que a soma das segundas derivadas de em relação a e deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da nossa função .
Primeiro, a derivada segunda em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada segunda em relação a :

Passo 5

Agora, aplicamos a Equação de Laplace juntando as duas segundas derivadas:

Passo 6

Para que a equação seja satisfeita, a soma deve ser igual a zero. Simplificando:

Resposta

A condição necessária para que a função satisfaça a Equação de Laplace é:

Exercícios relacionados