Sob que condições a função satisfaz à equação de Laplace ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos descobrir sob que condições essa função satisfaz a Equação de Laplace, que é . Vamos precisar entender como aplicar essa equação na nossa função para encontrar as relações entre os coeficientes e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Laplace. Em duas dimensões, ela é dada por:
Isso significa que a soma das segundas derivadas de em relação a e deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da nossa função .
Primeiro, a derivada segunda em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada segunda em relação a :

Passo 5

Agora, aplicamos a Equação de Laplace juntando as duas segundas derivadas:

Passo 6

Para que a equação seja satisfeita, a soma deve ser igual a zero. Simplificando:

Resposta

A condição necessária para que a função satisfaça a Equação de Laplace é:

Exercícios relacionados

Seja dada pela lei: . Determine:
Calcule , onde está delimitado pelos planos , pelos cilindros .
Pode-se obter aproximações de utilizando a sequência recursiva , onde .
(a) Encontre as aproximações para .
(b) Mostre que, se , então .
Se é dada por: se e , prove que:
(a) A função é contínua na origem.