Seja
dada pela lei:
. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida por:
O que a gente precisa encontrar é
, ou seja, o conjunto dos valores de
que, quando aplicamos a função
, resultam em números negativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função inversa e como ela se relaciona com o conjunto imagem da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa todos os números reais negativos. Então, nossa meta é achar todos os
tais que
seja negativo.
Passo 3
Vamos dividir a análise em duas partes, de acordo com a definição da função
:
-
Quando
: Aqui, . Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, . -
Quando
: Aqui, . A raiz cúbica de um número positivo é positiva, e a raiz cúbica de um número negativo é negativa.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
-
Para
: Como , nunca teremos nesse intervalo. Portanto, nenhum valor de vai pertencer a . -
Para
: Sabemos que quando . Mas queremos . Isso só acontece se . No entanto, como , a raiz cúbica é positiva, então também nesse intervalo não teremos .
Passo 5
Vamos reavaliar a segunda parte. Na verdade, se considerarmos
,
é sim positivo, então não contribui para
ser negativo. Porém, se pensarmos em
, a função
para
não é relevante. Mas a definição original já cobriu isso.
Passo 6
Conclusão: Não existe nenhum valor de
em
que satisfaça
. Portanto, o conjunto inverso que a gente está procurando é vazio.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
está delimitado pelos planos
, pelos cilindros
.
Sob que condições a função
satisfaz à equação de Laplace
?
Pode-se obter aproximações de
utilizando a sequência recursiva
, onde
.
(a) Encontre as aproximações para
.
(b) Mostre que, se , então
.
(a) Encontre as aproximações
(b) Mostre que, se