Seja dada pela lei: . Determine:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por:
O que a gente precisa encontrar é , ou seja, o conjunto dos valores de que, quando aplicamos a função , resultam em números negativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função inversa e como ela se relaciona com o conjunto imagem da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa todos os números reais negativos. Então, nossa meta é achar todos os tais que seja negativo.

Passo 3

Vamos dividir a análise em duas partes, de acordo com a definição da função :
  1. Quando : Aqui, . Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, .
  2. Quando : Aqui, . A raiz cúbica de um número positivo é positiva, e a raiz cúbica de um número negativo é negativa.

Passo 4

Vamos analisar cada caso:
  • Para : Como , nunca teremos nesse intervalo. Portanto, nenhum valor de vai pertencer a .
  • Para : Sabemos que quando . Mas queremos . Isso só acontece se . No entanto, como , a raiz cúbica é positiva, então também nesse intervalo não teremos .

Passo 5

Vamos reavaliar a segunda parte. Na verdade, se considerarmos , é sim positivo, então não contribui para ser negativo. Porém, se pensarmos em , a função para não é relevante. Mas a definição original já cobriu isso.

Passo 6

Conclusão: Não existe nenhum valor de em que satisfaça . Portanto, o conjunto inverso que a gente está procurando é vazio.

Resposta

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Calcule , onde está delimitado pelos planos , pelos cilindros .
, onde
Sob que condições a função satisfaz à equação de Laplace ?
Pode-se obter aproximações de utilizando a sequência recursiva , onde .
(a) Encontre as aproximações para .
(b) Mostre que, se , então .