Use o Teorema de Green para calcular
, com
de
a
por
e de
a
por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. No nosso caso, temos a integral:
Onde
é o caminho que vai de
a
pela curva
e retorna de
a
pela reta
. Para resolver isso, vamos seguir os passos do Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha, que estão na forma:
Comparando com a nossa integral, temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região delimitada pelo caminho
. Portanto, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. Observando as curvas:
- De
a pela curva - De
a pela reta
A região
está entre essas duas curvas, para
variando de 0 a 1. Para configurar a integral dupla, podemos integrar primeiro em
de
até
, e depois em
de 0 a 1.
Passo 7
Escrevendo a integral dupla:
Passo 8
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 9
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
.
(a) dada por
.
(a)
Calcule
, com
a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com
.
Calcule
.
(b) é a parte do parabolóide
.
(b)
Verifique o Teorema de Gauss, em que
e
é limitada por
.