Use o Teorema de Green para calcular integralC y^3 d x+(x^3-3 x y^2) d y, com C de (0,0) a (1,1) por y=x^3 e de (1,1) a (0,0) por y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. No nosso caso, temos a integral:
integralC y^3 , dx + (x^3 - 3xy^2) , dy
Onde é o caminho que vai de a pela curva e retorna de a pela reta . Para resolver isso, vamos seguir os passos do Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções integralC P , dx + Q , dy e P = y^3 e Q = x^3 - 3xy^2 na integral de linha, que estão na forma:
Comparando com a nossa integral, temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde é a região delimitada pelo caminho . Portanto, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 - 3xy^2 ) = 3x^2 - 3y^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( y^3 ) = 3y^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 3x^2 - 3y^2 - 3y^2 ) , dA = integral duplaD ( 3x^2 - 6y^2 ) , dA

Passo 6

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. Observando as curvas:
  • De a pela curva
  • De a pela reta
A região está entre essas duas curvas, para variando de 0 a 1. Para configurar a integral dupla, podemos integrar primeiro em de até , e depois em de 0 a 1.

Passo 7

Escrevendo a integral dupla:
integralx=0^1 integraly=x^3^y=x ( 3x^2 - 6y^2 ) , dy , dx

Passo 8

Primeiro, vamos integrar em relação a integraly=x^3^y=x ( 3x^2 - 6y^2 ) , dy = [ 3x^2y - 2y^3 ]y=x^3^y=x :
= ( 3x^2(x) - 2x^3 ) - ( 3x^2(x^3) - 2(x^3)^3 )
Substituindo os limites:
= (3x^3 - 2x^3) - (3x^5 - 2x^9)
= x^3 - 3x^5 + 2x^9

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( x^3 - 3x^5 + 2x^9 ) , dx = [ x^44 - 3x^66 + 2x^1010 ]0^1 de 0 a 1:
= ( 14 - 12 + 15 ) - 0
= 14 - 12 + 15 = 520 - 1020 + 420 = -120

Resposta

integralC y^3 , dx + (x^3 - 3xy^2) , dy = -120

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