Use o Teorema de Green para calcular , com de a por e de a por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. No nosso caso, temos a integral:
Onde é o caminho que vai de a pela curva e retorna de a pela reta . Para resolver isso, vamos seguir os passos do Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha, que estão na forma:
Comparando com a nossa integral, temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região delimitada pelo caminho . Portanto, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 6

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. Observando as curvas:
  • De a pela curva
  • De a pela reta
A região está entre essas duas curvas, para variando de 0 a 1. Para configurar a integral dupla, podemos integrar primeiro em de até , e depois em de 0 a 1.

Passo 7

Escrevendo a integral dupla:

Passo 8

Primeiro, vamos integrar em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule .
(a) dada por .
Calcule , com a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com .
Calcule .
(b) é a parte do parabolóide .
Verifique o Teorema de Gauss, em que e é limitada por .