Calcule
.
(a)
dada por
.
(a)
Passo 1
Vamos resumir o problema que temos aqui: Precisamos calcular a integral dupla
, onde a função é
. A superfície
é definida pela equação
e está limitada pela condição
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
descreve uma superfície cônica, especificamente uma meia-cone, que se estende para cima desde a origem. A condição
limita essa superfície a um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície
, podemos usar a seguinte fórmula:
Aqui,
é a projeção da superfície
no plano
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do elemento de área
:
Portanto,
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral de superfície:
Sabendo que
, substituímos:
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região
é um círculo. Nas coordenadas polares:
A região
passa a ser
e
.
Passo 7
Reescrevendo a integral em coordenadas polares:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Calculando a integral em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 10
Calculando as integrais:
Portanto:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, com
a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com
.
Seja
a região interna à elipse
e externa ao círculo
. Calcule
. Considere
é a fronteira de
.
Use o Teorema de Green para calcular
, com
de
a
por
e de
a
por
.
Calcule
.
(b) é a parte do parabolóide
.
(b)