Calcule integral duplaM f(p) d s.
(a) f(x, y, z)=9 x+3 z, M dada por z=raizx^2+y^2, x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Vamos resumir o problema que temos aqui: Precisamos calcular a integral dupla , onde a função é . A superfície é definida pela equação e está limitada pela condição . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação descreve uma superfície cônica, especificamente uma meia-cone, que se estende para cima desde a origem. A condição limita essa superfície a um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície integral duplaD f(x, y, z) raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy , podemos usar a seguinte fórmula:
Aqui, é a projeção da superfície no plano . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = xraizx^2 + y^2
partial zpartial y = yraizx^2 + y^2
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do elemento de área ds = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy = raizx^2x^2 + y^2 + y^2x^2 + y^2 + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 :
Portanto, .

Passo 5

Substituindo tudo na integral de superfície:
integral duplaM f(p) , ds = integral duplaD (9x + 3z) raiz2 , dx , dy
Sabendo que integral duplaD (9x + 3raizx^2 + y^2) raiz2 , dx , dy , substituímos:

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região x = r cos theta, y = r sin theta, x^2 + y^2 = r^2 é um círculo. Nas coordenadas polares:
dx , dy = r , dr , dtheta
A região passa a ser e .

Passo 7

Reescrevendo a integral em coordenadas polares:
integral duplaD (9x + 3raizx^2 + y^2) raiz2 , dx , dy = raiz2 integral0^2pi integral0^2 (9r cos theta + 3r) r , dr , dtheta

Passo 8

Simplificando a expressão:
raiz2 integral0^2pi integral0^2 (9r^2 cos theta + 3r^2) , dr , dtheta

Passo 9

Calculando a integral em relação a integral0^2 9r^2 cos theta , dr = 9 cos theta [ r^33 ]0^2 = 9 cos theta ( 83 ) = 24 cos theta :
integral0^2 3r^2 , dr = 3 [ r^33 ]0^2 = 8
raiz2 integral0^2pi (24 cos theta + 8) , dtheta = raiz2 ( 24 integral0^2pi cos theta , dtheta + 8 integral0^2pi , dtheta )
Então, a integral se torna:

Passo 10

Calculando as integrais:
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
integral0^2pi , dtheta = 2pi
Portanto:
raiz2 ( 24 cdot 0 + 8 cdot 2pi ) = raiz2 cdot 16pi = 16raiz2pi

Resposta

A integral dupla é igual a .

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