Calcule .
(a) dada por .

Passo 1

Vamos resumir o problema que temos aqui: Precisamos calcular a integral dupla , onde a função é . A superfície é definida pela equação e está limitada pela condição . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação descreve uma superfície cônica, especificamente uma meia-cone, que se estende para cima desde a origem. A condição limita essa superfície a um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície , podemos usar a seguinte fórmula:
Aqui, é a projeção da superfície no plano . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do elemento de área :
Portanto, .

Passo 5

Substituindo tudo na integral de superfície:
Sabendo que , substituímos:

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região é um círculo. Nas coordenadas polares:
A região passa a ser e .

Passo 7

Reescrevendo a integral em coordenadas polares:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Calculando a integral em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 10

Calculando as integrais:
Portanto:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , com a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com .
Seja a região interna à elipse e externa ao círculo . Calcule . Considere é a fronteira de .
Use o Teorema de Green para calcular , com de a por e de a por .
Calcule .
(b) é a parte do parabolóide .