Calcule integralC(arctg x+y^2) d x+(e^y-x^2) d y, com C a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha:
integralC(arctan(x) + y^2) dx + (e^y - x^2) dy
onde é a região entre duas circunferências centradas na origem com raios 1 e 3, e . Vamos usar o Teorema de Green para resolver essa integral, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções P(x, y) = arctan(x) + y^2 e Q(x, y) = e^y - x^2 na integral:
integralC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a área delimitada por .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (e^y - x^2) = -2x
partial Ppartial y = partialpartial y (arctan(x) + y^2) = 2y
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2x - 2y

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre integral duplaD (-2x - 2y) , dx , dy :
Como é a região entre duas circunferências com raios 1 e 3 e , é conveniente usar coordenadas polares para simplificar a integração.

Passo 5

Convertendo para coordenadas polares, onde integral0^pi integral1^3 (-2 r cos(theta) - 2 r sin(theta)) cdot r , dr , dtheta e , e o jacobiano é :
Os limites são:
  • varia de 1 a 3
  • varia de 0 a (já que )
A integral fica:

Passo 6

Simplificando a integral:
integral0^pi integral1^3 (-2 r^2 cos(theta) - 2 r^2 sin(theta)) , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a -2 cos(theta) integral1^3 r^2 , dr - 2 sin(theta) integral1^3 r^2 , dr primeiro:
integral r^2 , dr = r^33
Sabemos que:

Passo 7

Calculando as integrais de -2 cos(theta) ( 3^33 - 1^33 ) - 2 sin(theta) ( 3^33 - 1^33 ) :
= -2 cos(theta) ( 27 - 13 ) - 2 sin(theta) ( 27 - 13 )
= -523 cos(theta) - 523 sin(theta)

Passo 8

Agora, integramos em relação a -523 integral0^pi cos(theta) , dtheta - 523 integral0^pi sin(theta) , dtheta :
integral0^pi cos(theta) , dtheta = 0
Sabemos que:
integral0^pi sin(theta) , dtheta = 2

Passo 9

Substituindo os valores:
-523 cdot 0 - 523 cdot 2 = -1043

Resposta

O valor da integral é:
-1043

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