Calcule , com a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha:
onde é a região entre duas circunferências centradas na origem com raios 1 e 3, e . Vamos usar o Teorema de Green para resolver essa integral, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções e na integral:
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a área delimitada por .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença é:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre :
Como é a região entre duas circunferências com raios 1 e 3 e , é conveniente usar coordenadas polares para simplificar a integração.

Passo 5

Convertendo para coordenadas polares, onde e , e o jacobiano é :
Os limites são:
  • varia de 1 a 3
  • varia de 0 a (já que )
A integral fica:

Passo 6

Simplificando a integral:
Vamos integrar em relação a primeiro:
Sabemos que:

Passo 7

Calculando as integrais de :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Sabemos que:

Passo 9

Substituindo os valores:

Resposta

O valor da integral é:

Exercícios relacionados

Seja a região interna à elipse e externa ao círculo . Calcule . Considere é a fronteira de .
Verifique o Teorema de Stokes, em que e é limitada por .
Calcule .
(a) dada por .
Use o Teorema de Green para calcular , com de a por e de a por .