Calcule
, com
a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha:
onde
é a região entre duas circunferências centradas na origem com raios 1 e 3, e
. Vamos usar o Teorema de Green para resolver essa integral, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as funções
e
na integral:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a área delimitada por
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença é:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre
:
Como
é a região entre duas circunferências com raios 1 e 3 e
, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar a integração.
Passo 5
Convertendo para coordenadas polares, onde
e
, e o jacobiano é
:
Os limites são:
-
varia de 1 a 3 -
varia de 0 a (já que )
A integral fica:
Passo 6
Simplificando a integral:
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Sabemos que:
Passo 7
Calculando as integrais de
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que:
Passo 9
Substituindo os valores:
Resposta
O valor da integral é:
Exercícios relacionados
Seja
a região interna à elipse
e externa ao círculo
. Calcule
. Considere
é a fronteira de
.
Verifique o Teorema de Stokes, em que
e
é limitada por
.
Calcule
.
(a) dada por
.
(a)
Use o Teorema de Green para calcular
, com
de
a
por
e de
a
por
.