Seja R a região interna à elipse x^29+y^24=1 e externa ao círculo x^2+y^2=1. Calcule integralC 2 x y d x+(x^2+2 x) d y. Considere C=C1+C2 é a fronteira de R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha , onde é a fronteira de uma região . Essa região é o espaço que está dentro da elipse e fora do círculo . Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente o Teorema de Green, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Green. Ele é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Basicamente, ele transforma uma integral complicada ao longo da fronteira em uma integral mais fácil de se calcular dentro da região.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Green na nossa integral. Identificamos que:
P = 2xy e Q = x^2 + 2x
Segundo o Teorema de Green, temos:
integralC P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + 2x) = 2x + 2
partial Ppartial y = partialpartial y (2xy) = 2x
Subtraindo:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2x + 2) - 2x = 2
Então, nossa integral fica:
integral duplaR 2 , dA

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área da região a = 3 (porque a^2 = 9) e b = 2 (porque b^2 = 4) . Sabemos que:
  • A área de uma elipse é dada por Área da elipse = pi times 3 times 2 = 6pi , onde r = 1 e Área do círculo = pi times 1^2 = pi são os semi-eixos.
  • A área de um círculo é Área de R = 6pi - pi = 5pi , onde é o raio.
Para a elipse :
Então, a área da elipse é:
Á
Para o círculo :
Então, a área do círculo é:
Áí
Portanto, a área da região (dentro da elipse e fora do círculo) é:
Á

Passo 5

Finalmente, voltando à nossa integral dupla:
integral duplaR 2 , dA = 2 times Área de R = 2 times 5pi = 10pi Á

Resposta

10pi

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