Seja
a região interna à elipse
e externa ao círculo
. Calcule
. Considere
é a fronteira de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira de uma região
. Essa região
é o espaço que está dentro da elipse
e fora do círculo
. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente o Teorema de Green, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Green. Ele é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Basicamente, ele transforma uma integral complicada ao longo da fronteira em uma integral mais fácil de se calcular dentro da região.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Green na nossa integral. Identificamos que:
Segundo o Teorema de Green, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Subtraindo:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a área da região
. Sabemos que:
- A área de uma elipse é dada por
, onde e são os semi-eixos. - A área de um círculo é
, onde é o raio.
Para a elipse
:
Então, a área da elipse é:
Para o círculo
:
Então, a área do círculo é:
Portanto, a área da região
(dentro da elipse e fora do círculo) é:
Passo 5
Finalmente, voltando à nossa integral dupla:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique o Teorema de Stokes, em que
e
é limitada por
.
Calcule
, com
, orientado no sentido anti-horário.
Calcule
, com
a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com
.
Calcule
.
(a) dada por
.
(a)