Seja a região interna à elipse e externa ao círculo . Calcule . Considere é a fronteira de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha , onde é a fronteira de uma região . Essa região é o espaço que está dentro da elipse e fora do círculo . Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente o Teorema de Green, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Green. Ele é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Basicamente, ele transforma uma integral complicada ao longo da fronteira em uma integral mais fácil de se calcular dentro da região.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Green na nossa integral. Identificamos que:
Segundo o Teorema de Green, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Subtraindo:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área da região . Sabemos que:
  • A área de uma elipse é dada por , onde e são os semi-eixos.
  • A área de um círculo é , onde é o raio.
Para a elipse :
Então, a área da elipse é:
Á
Para o círculo :
Então, a área do círculo é:
Áí
Portanto, a área da região (dentro da elipse e fora do círculo) é:
Á

Passo 5

Finalmente, voltando à nossa integral dupla:
Á

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique o Teorema de Stokes, em que e é limitada por .
Calcule , com , orientado no sentido anti-horário.
Calcule , com a região compreendida entre duas circunferências centradas na origem de raios 1 e 3 e com .
Calcule .
(a) dada por .