Calcule
, onde
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A região
é definida por
e
.
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de superfície e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para simplificar nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre a fronteira
de uma região
pode ser convertida em uma integral de volume sobre
:
Aqui,
representa a divergência do campo
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência
do nosso campo vetorial
.
A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, precisamos calcular a integral de volume
. Ou seja, vamos somente multiplicar a divergência pelo volume de
.
Primeiro, vamos entender a região
:
-
significa que está acima do paraboloide . -
significa que está abaixo do plano . -
restringe a região ao lado direito do eixo .
Passo 5
Para calcular o volume de
, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a região tem simetria circular em torno do eixo
. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é
.
As condições da região se traduzem em:
-
implica que varia de a (meia volta) -
-
varia de a
Passo 6
Agora, montamos a integral de volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
A próxima integral é em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Portanto,
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
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Resolva o PVI
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em que
Considere
. Seja
a esfera unitária definida por
com vetor normal apontando para fora. Calcule
Encontre os limites: