Calcule , onde onde e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é . A região é definida por e .
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de superfície e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para simplificar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de uma região pode ser convertida em uma integral de volume sobre :
Aqui, representa a divergência do campo .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do nosso campo vetorial .
A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, precisamos calcular a integral de volume . Ou seja, vamos somente multiplicar a divergência pelo volume de .
Primeiro, vamos entender a região :
  • significa que está acima do paraboloide .
  • significa que está abaixo do plano .
  • restringe a região ao lado direito do eixo .

Passo 5

Para calcular o volume de , vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a região tem simetria circular em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .
As condições da região se traduzem em:
  • implica que varia de a (meia volta)
  • varia de a

Passo 6

Agora, montamos a integral de volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 8

A próxima integral é em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Portanto,

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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