Calcule integral duplapartial Wlang<=F, nrang<= d S, onde F(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x) onde W: x^2+y^2 <= z <= 1 e x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície integral duplapartial Wlang<=F, nrang<= d S, onde o campo vetorial é F(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x). A região W é definida por x^2+y^2 <= z <= 1 e x >= 0.
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de superfície e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para simplificar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial F sobre a fronteira partial W de uma região W pode ser convertida em uma integral de volume sobre W:
integral duplapartial W lang<= F, n rang<= dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Aqui, nabla cdot F representa a divergência do campo F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência nabla cdot F do nosso campo vetorial F(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x).
A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial (x - y)partial x + partial (y - z)partial y + partial (z - x)partial z
Calculando cada derivada:
partial (x - y)partial x = 1 partial (y - z)partial y = 1 partial (z - x)partial z = 1
Então,
nabla cdot F = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, precisamos calcular a integral de volume integral triplaW 3 , dV. Ou seja, vamos somente multiplicar a divergência pelo volume de W.
Primeiro, vamos entender a região W:
  • x^2 + y^2 <= z significa que z está acima do paraboloide z = x^2 + y^2.
  • z <= 1 significa que z está abaixo do plano z=1.
  • x >= 0 restringe a região ao lado direito do eixo y.

Passo 5

Para calcular o volume de W, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a região tem simetria circular em torno do eixo z. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
E o elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz.
As condições da região se traduzem em:
  • x >= 0 implica que theta varia de -pi2 a pi2 (meia volta)
  • x^2 + y^2 = r^2 <= z <= 1
  • r varia de 0 a raizz

Passo 6

Agora, montamos a integral de volume:
V = integral triplaW 3 , dV = 3 integralz=0^1 integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^raizz r , dr , dtheta , dz
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^raizz r , dr = [ 12 r^2 ]0^raizz = 12 z
Agora, a integral fica:
3 integral0^1 integral-pi2^pi2 12 z , dtheta , dz = 32 integral0^1 z ( integral-pi2^pi2 dtheta ) dz

Passo 8

A próxima integral é em relação a theta:
integral-pi2^pi2 dtheta = pi
Substituindo de volta:
32 integral0^1 z cdot pi , dz = 3pi2 integral0^1 z , dz

Passo 9

Agora, integramos em relação a z:
integral0^1 z , dz = [ 12 z^2 ]0^1 = 12
Portanto,
3pi2 cdot 12 = 3pi4

Resposta

O valor da integral de superfície é 3pi4.

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