Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver a equação diferencial e considerar a função que muda de expressão dependendo do valor de . Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão. A equação que temos é:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, identificamos que é uma equação linear de primeira ordem, onde e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Integrando , temos:
Desconsiderando a constante , o fator integrante fica:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso nos leva a:
Essa simplificação ocorre porque multiplicamos pelo fator integrante, transformando a esquerda em uma derivada de produto.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a :
Agora, precisamos considerar a função que é definida por partes:
Vamos resolver para cada intervalo separadamente.
Passo 6
Para :
Aqui, . Então, a integral fica:
Portanto:
Isolando :
Passo 7
Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução para é:
Passo 8
Para :
Agora, . A integral fica:
Assim:
Isolando :
Passo 9
Para encontrar a constante na segunda parte, precisamos garantir que a solução seja contínua em . Ou seja, o valor de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima de 1 pela direita.