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Resolva o PVI
em que
Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver a equação diferencial e considerar a função
que muda de expressão dependendo do valor de
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão. A equação que temos é:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Aqui, identificamos que é uma equação linear de primeira ordem, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Integrando
, temos:
Desconsiderando a constante
, o fator integrante fica:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso nos leva a:
Essa simplificação ocorre porque multiplicamos pelo fator integrante, transformando a esquerda em uma derivada de produto.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Agora, precisamos considerar a função
que é definida por partes:
Vamos resolver para cada intervalo separadamente.
Passo 6
Para
:
Aqui,
. Então, a integral fica:
Portanto:
Isolando
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução para
é:
Passo 8
Para
:
Agora,
. A integral fica:
Assim:
Isolando
:
Passo 9
Para encontrar a constante
na segunda parte, precisamos garantir que a solução seja contínua em
. Ou seja, o valor de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor quando
se aproxima de 1 pela direita.
Usamos a solução da primeira parte em
:
Igualando à segunda parte:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 10
Com
, a solução para
é:
Resposta
A solução do PVI é dada por: