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Resolva o PVI
(1 + x^2) y' + 2 x y = f(x), y(0) = 0
em que
f(x) = { x, se 0 <= x < 1; -x, se x >= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver a equação diferencial e considerar a função que muda de expressão dependendo do valor de . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão. A equação que temos é:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, identificamos que é uma equação linear de primeira ordem, onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Integrando , temos:
Desconsiderando a constante , o fator integrante fica:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso nos leva a:
Essa simplificação ocorre porque multiplicamos pelo fator integrante, transformando a esquerda em uma derivada de produto.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Agora, precisamos considerar a função que é definida por partes:
Vamos resolver para cada intervalo separadamente.

Passo 6

Para :
Aqui, . Então, a integral fica:
Portanto:
Isolando :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução para é:

Passo 8

Para :
Agora, . A integral fica:
Assim:
Isolando :

Passo 9

Para encontrar a constante na segunda parte, precisamos garantir que a solução seja contínua em . Ou seja, o valor de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima de 1 pela direita.
Usamos a solução da primeira parte em :
Igualando à segunda parte:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 10

Com , a solução para é:

Resposta

A solução do PVI é dada por:

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