Considere . Seja a esfera unitária definida por com vetor normal apontando para fora. Calcule

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a esfera unitária definida por , com o vetor normal apontando para fora.
Conteúdo da matéria: Utilizaremos o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
O que vamos precisar:
  • Calcular a divergência da função vetorial .
  • Aplicar o Teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em uma integral de volume.
  • Calcular a integral de volume na esfera unitária.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial . A divergência, denotada por , é dada pela soma das derivadas parciais dos componentes de em relação às suas respectivas coordenadas.
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teorema de Gauss, que nos permite substituir a integral de superfície pela integral de volume da divergência da função vetorial. A fórmula do teorema é:
Onde é o volume delimitado pela superfície . No nosso caso, é a esfera unitária, então é a esfera com raio 1.

Passo 4

Substituindo a divergência que calculamos no Passo 2 na integral de volume, temos:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos . Isso é simplesmente 2 vezes o volume da esfera unitária. O volume de uma esfera de raio é dado por:
Como ,
Portanto,

Passo 6

Agora, calculamos e .
Observamos que a esfera é simétrica em relação aos eixos e . Isso significa que, para cada ponto com coordenada , existe um ponto com coordenada , e o mesmo vale para . Portanto, ao integrar ou sobre a esfera inteira, os resultados se anulam devido à simetria.
Matematicamente,
e
Portanto,
e

Passo 7

Agora, somamos todos os resultados obtidos:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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Calcule os limites (pode utilizar derivadas!) Resp: