Considere
. Seja
a esfera unitária definida por
com vetor normal apontando para fora. Calcule
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a esfera unitária
definida por
, com o vetor normal
apontando para fora.
Conteúdo da matéria: Utilizaremos o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
O que vamos precisar:
- Calcular a divergência da função vetorial
. - Aplicar o Teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em uma integral de volume.
- Calcular a integral de volume na esfera unitária.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial
. A divergência, denotada por
, é dada pela soma das derivadas parciais dos componentes de
em relação às suas respectivas coordenadas.
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 3
Agora, aplicaremos o Teorema de Gauss, que nos permite substituir a integral de superfície pela integral de volume da divergência da função vetorial. A fórmula do teorema é:
Onde
é o volume delimitado pela superfície
. No nosso caso,
é a esfera unitária, então
é a esfera com raio 1.
Passo 4
Substituindo a divergência que calculamos no Passo 2 na integral de volume, temos:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos
. Isso é simplesmente 2 vezes o volume da esfera unitária. O volume de uma esfera de raio
é dado por:
Como
,
Portanto,
Passo 6
Agora, calculamos
e
.
Observamos que a esfera é simétrica em relação aos eixos
e
. Isso significa que, para cada ponto com coordenada
, existe um ponto com coordenada
, e o mesmo vale para
. Portanto, ao integrar
ou
sobre a esfera inteira, os resultados se anulam devido à simetria.
Matematicamente,
e
Portanto,
e
Passo 7
Agora, somamos todos os resultados obtidos:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
onde
e
.
Encontre os limites:
Encontre os limites:
Calcule os limites (pode utilizar derivadas!)
Resp: