Considere F=(2 x, y^2, z^2). Seja S a esfera unitária definida por x^2+y^2+z^2=1 com vetor normal apontando para fora. Calcule
integral duplaSlang<=F, nrang<= d S

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície da função vetorial F = (2x, y^2, z^2) sobre a esfera unitária S definida por x^2 + y^2 + z^2 = 1, com o vetor normal n apontando para fora.
Conteúdo da matéria: Utilizaremos o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
O que vamos precisar:
  • Calcular a divergência da função vetorial F.
  • Aplicar o Teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em uma integral de volume.
  • Calcular a integral de volume na esfera unitária.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial F = (2x, y^2, z^2). A divergência, denotada por nabla cdot F, é dada pela soma das derivadas parciais dos componentes de F em relação às suas respectivas coordenadas.
nabla cdot F = partialpartial x(2x) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(z^2)
Calculando cada derivada:
partialpartial x(2x) = 2
partialpartial y(y^2) = 2y
partialpartial z(z^2) = 2z
Então,
nabla cdot F = 2 + 2y + 2z

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teorema de Gauss, que nos permite substituir a integral de superfície pela integral de volume da divergência da função vetorial. A fórmula do teorema é:
integral duplaS lang<= F, n rang<= dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume delimitado pela superfície S. No nosso caso, S é a esfera unitária, então V é a esfera com raio 1.

Passo 4

Substituindo a divergência que calculamos no Passo 2 na integral de volume, temos:
integral triplaV (2 + 2y + 2z) , dV = integral triplaV 2 , dV + integral triplaV 2y , dV + integral triplaV 2z , dV
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos integral triplaV 2 , dV. Isso é simplesmente 2 vezes o volume da esfera unitária. O volume de uma esfera de raio R é dado por:
V = 43 pi R^3
Como R = 1,
V = 43 pi
Portanto,
integral triplaV 2 , dV = 2 times 43 pi = 83 pi

Passo 6

Agora, calculamos integral triplaV 2y , dV e integral triplaV 2z , dV.
Observamos que a esfera é simétrica em relação aos eixos y e z. Isso significa que, para cada ponto com coordenada y, existe um ponto com coordenada -y, e o mesmo vale para z. Portanto, ao integrar y ou z sobre a esfera inteira, os resultados se anulam devido à simetria.
Matematicamente,
integral triplaV y , dV = 0
e
integral triplaV z , dV = 0
Portanto,
integral triplaV 2y , dV = 2 times 0 = 0
e
integral triplaV 2z , dV = 2 times 0 = 0

Passo 7

Agora, somamos todos os resultados obtidos:
integral triplaV (2 + 2y + 2z) , dV = 83 pi + 0 + 0 = 83 pi

Resposta

A integral de superfície é igual a 83 pi.

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