Calcule
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
O que temos aqui:
- Região de integração (Q): Um retângulo definido por
indo de 0 a 1 e indo de 1 a 3. - Função a integrar:
Matéria envolvida:
- Cálculo de integrais duplas.
- Integração iterada (integrar uma variável de cada vez).
- Conhecimento básico de integrais de funções polinomiais e radicais.
Vamos precisar:
- Integrar a função em relação a
primeiro. - Depois, integrar o resultado em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
como uma constante.
Vamos integrar termo a termo:
-
Integral de
em relação a : -
Integral de
em relação a : -
Integral de
em relação a :
Somando todos os resultados:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
no intervalo de 1 a 3:
Integrando cada termo separadamente:
-
Integral de
: Avaliado de 1 a 3: -
Integral de
: -
Integral de
: Avaliado de 1 a 3:
Somando todos os resultados:
Vamos simplificar:
Resposta
O valor da integral dupla é:
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Calcule
e
denota o maior inteiro menor que
.
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
Derive as seguintes funções: