Calcule
integral duplaQ(raizy+x-3 x y^2) d x d y, com Q=[0,1] times[1,3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
integral duplaQ(raizy + x - 3xy^2) , dx , dy
O que temos aqui:
  • Região de integração (Q): Um retângulo definido por indo de 0 a 1 e indo de 1 a 3.
  • Função a integrar:
Matéria envolvida:
  • Cálculo de integrais duplas.
  • Integração iterada (integrar uma variável de cada vez).
  • Conhecimento básico de integrais de funções polinomiais e radicais.
Vamos precisar:
  1. Integrar a função em relação a primeiro.
  2. Depois, integrar o resultado em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral0^1 ( raizy + x - 3xy^2 ) dx em relação a raizy integral0^1 dx = raizy cdot [ x ]0^1 = raizy cdot (1 - 0) = raizy , mantendo integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 como uma constante.
-3y^2 integral0^1 x , dx = -3y^2 cdot [ x^22 ]0^1 = -3y^2 cdot ( 12 - 0 ) = -32 y^2
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integral de raizy + 12 - 32 y^2 em relação a :
  2. Integral de em relação a :
  3. Integral de em relação a :
Somando todos os resultados:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral1^3 ( raizy + 12 - 32 y^2 ) dy no intervalo de 1 a 3:
integral raizy , dy = integral y^1/2 , dy = 23 y^3/2
Integrando cada termo separadamente:
  1. Integral de 23 (3)^3/2 - 23 (1)^3/2 = 23 cdot 3raiz3 - 23 cdot 1 = 2raiz3 - 23 :
    12 integral1^3 dy = 12 (3 - 1) = 12 cdot 2 = 1
    Avaliado de 1 a 3:
    -32 integral y^2 , dy = -32 cdot y^33 = -12 y^3
  2. Integral de -12 (3^3) + 12 (1^3) = -12 cdot 27 + 12 cdot 1 = -272 + 12 = -262 = -13 :
    (2raiz3 - 23) + 1 - 13 = 2raiz3 - 23 + 1 - 13 = 2raiz3 - 23 - 12
  3. Integral de 2raiz3 - 23 - 12 = 2raiz3 - (23 + 12) = 2raiz3 - 383 :
    Avaliado de 1 a 3:
Somando todos os resultados:
Vamos simplificar:

Resposta

O valor da integral dupla é:
2raiz3 - 383

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