Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, a gente também precisa encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências funcionam e comparar o crescimento das diferentes potências no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos no denominador: , e . Conforme aumenta, cada um desses termos cresce, mas com taxas diferentes. Entre eles, cresce mais rápido do que e . Isso significa que, para valores grandes de , o termo vai dominar o denominador.

Passo 3

Agora, vamos comparar a taxa de crescimento do numerador com a do denominador, que é dominado por . A gente pode simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por :

Passo 4

Observe que e são termos que tendem a zero conforme cresce, porque as bases são menores que 1. Então, para valores grandes de , a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos analisar . Como , sabemos que cresce sem limite conforme tende ao infinito. Isso significa que a sequência também cresce sem limite.

Resposta

A sequência é divergente e tende ao infinito.

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Calcule: