Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, a gente também precisa encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências funcionam e comparar o crescimento das diferentes potências no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os termos no denominador:
,
e
. Conforme
aumenta, cada um desses termos cresce, mas com taxas diferentes. Entre eles,
cresce mais rápido do que
e
. Isso significa que, para valores grandes de
, o termo
vai dominar o denominador.
Passo 3
Agora, vamos comparar a taxa de crescimento do numerador
com a do denominador, que é dominado por
. A gente pode simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Observe que
e
são termos que tendem a zero conforme
cresce, porque as bases são menores que 1. Então, para valores grandes de
, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos analisar
. Como
, sabemos que
cresce sem limite conforme
tende ao infinito. Isso significa que a sequência
também cresce sem limite.
Resposta
A sequência é divergente e tende ao infinito.
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Calcule: