Seja f: R^3 R uma função com derivadas parciais contínuas até a segunda ordem. Considerando a função g:(0, infty) times R^2 R, dada por g(r, theta, z)=f(x, y, z), com x=r cos theta e y=r sin theta, demonstre que
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=partial^2 gpartial r^2+1r partial gpartial r+1r^2 partial^2 gpartial theta^2+partial^2 gpartial z^2
Sugestão: Use a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que depende de e , e quer mostrar como a soma das segundas derivadas parciais de se relaciona com as derivadas de uma nova função que está em coordenadas cilíndricas ( ). Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como g(r, theta, z) = f(x, y, z) está definida. Sabemos que:
x = r cos theta e y = r sin theta
onde
Isso significa que é basicamente reescrita nas coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de partial gpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r em relação a partial xpartial r = cos theta e partial ypartial r = sin theta e partial gpartial r = partial fpartial x cos theta + partial fpartial y sin theta utilizando a regra da cadeia.
Para partial gpartial theta = partial fpartial x cdot partial xpartial theta + partial fpartial y cdot partial ypartial theta :
partial xpartial theta = -r sin theta e partial ypartial theta = r cos theta
Sabendo que:
partial gpartial theta = -r sin theta partial fpartial x + r cos theta partial fpartial y
Então:
Para :
Sabendo que:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais de partial^2 gpartial r^2 = partialpartial r ( partial gpartial r ) .
Primeiro, a segunda derivada em relação a partial^2 gpartial r^2 = partial^2 fpartial x^2 cos^2 theta + 2 partial^2 fpartial x partial y cos theta sin theta + partial^2 fpartial y^2 sin^2 theta :
partial^2 gpartial theta^2 = partialpartial theta ( partial gpartial theta )
Usando a expressão de partial^2 gpartial theta^2 = r^2 sin^2 theta partial^2 fpartial x^2 - 2r^2 sin theta cos theta partial^2 fpartial x partial y + r^2 cos^2 theta partial^2 fpartial y^2 que encontramos:
Agora, a segunda derivada em relação a :
Usando a expressão de :

Passo 5

Vamos montar agora a expressão que queremos demonstrar. Somando as segundas derivadas parciais de partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 em coordenadas cartesianas:
partial^2 gpartial r^2 + 1r partial gpartial r + 1r^2 partial^2 gpartial theta^2 + partial^2 gpartial z^2
E igualar com as derivadas de em coordenadas cilíndricas:
Substituindo as expressões que calculamos anteriormente, percebemos que os termos envolvendo se cancelam devido às combinações de e , já que .
Além disso, os termos com complementam a expressão para formar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, confirmamos que:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = partial^2 gpartial r^2 + 1r partial gpartial r + 1r^2 partial^2 gpartial theta^2 + partial^2 gpartial z^2
Ou seja, mostramos que a soma das segundas derivadas parciais de em coordenadas cartesianas é igual à soma das derivadas correspondentes de em coordenadas cilíndricas.

Resposta

Concluímos que:
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=partial^2 gpartial r^2+1r partial gpartial r+1r^2 partial^2 gpartial theta^2+partial^2 gpartial z^2

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