Seja
uma função com derivadas parciais contínuas até a segunda ordem. Considerando a função
, dada por
, com
e
, demonstre que
Sugestão: Use a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que depende de
e
, e quer mostrar como a soma das segundas derivadas parciais de
se relaciona com as derivadas de uma nova função
que está em coordenadas cilíndricas (
). Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a calcular derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
está definida. Sabemos que:
onde
Isso significa que
é basicamente
reescrita nas coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
utilizando a regra da cadeia.
Para
:
Sabendo que:
Então:
Para
:
Sabendo que:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais de
.
Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Usando a expressão de
que encontramos:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Usando a expressão de
:
Passo 5
Vamos montar agora a expressão que queremos demonstrar. Somando as segundas derivadas parciais de
em coordenadas cartesianas:
E igualar com as derivadas de
em coordenadas cilíndricas:
Substituindo as expressões que calculamos anteriormente, percebemos que os termos envolvendo
se cancelam devido às combinações de
e
, já que
.
Além disso, os termos com
complementam a expressão para formar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, confirmamos que:
Ou seja, mostramos que a soma das segundas derivadas parciais de
em coordenadas cartesianas é igual à soma das derivadas correspondentes de
em coordenadas cilíndricas.
Resposta
Concluímos que:
Exercícios relacionados
Calcule
para
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de
a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114
(a altura é indicada na figura como o segmento
). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de
e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) menor que .
b) entre e
c) entre e
d) entre e
e) maior que .
a) menor que
b) entre
c) entre
d) entre
e) maior que
(b)
(a) uma série de senos;