Seja uma função com derivadas parciais contínuas até a segunda ordem. Considerando a função , dada por , com e , demonstre que
Sugestão: Use a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que depende de e , e quer mostrar como a soma das segundas derivadas parciais de se relaciona com as derivadas de uma nova função que está em coordenadas cilíndricas ( ). Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida. Sabemos que:
onde
Isso significa que é basicamente reescrita nas coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de em relação a e utilizando a regra da cadeia.
Para :
Sabendo que:
Então:
Para :
Sabendo que:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais de .
Primeiro, a segunda derivada em relação a :
Usando a expressão de que encontramos:
Agora, a segunda derivada em relação a :
Usando a expressão de :

Passo 5

Vamos montar agora a expressão que queremos demonstrar. Somando as segundas derivadas parciais de em coordenadas cartesianas:
E igualar com as derivadas de em coordenadas cilíndricas:
Substituindo as expressões que calculamos anteriormente, percebemos que os termos envolvendo se cancelam devido às combinações de e , já que .
Além disso, os termos com complementam a expressão para formar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, confirmamos que:
Ou seja, mostramos que a soma das segundas derivadas parciais de em coordenadas cartesianas é igual à soma das derivadas correspondentes de em coordenadas cilíndricas.

Resposta

Concluímos que:

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Calcule para
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 (a altura é indicada na figura como o segmento ). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) menor que .
b) entre e
c) entre e
d) entre e
e) maior que .
- Utilize transformada de Laplace para determinar a solução de cada problema, dado a seguir.
(b)
- Desenvolva , definida por , em
(a) uma série de senos;