2(2 , 0) - Utilize transformada de Laplace para determinar a solução de cada problema, dado a seguir.
(b) y'' - y' = e^t cos(t), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e usando a Transformada de Laplace. Para isso, precisamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace e das transformadas de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que e , onde é a transformada de Laplace de y(t).

Passo 3

Aplicando a transformada:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:

Passo 4

Fatorando no lado esquerdo:
Isolando :

Passo 5

Para simplificar, faremos a decomposição em frações parciais. Primeiro, vamos expandir o denominador:
E

Passo 6

Assim, temos:
Podemos simplificar com :

Passo 7

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Expandindo e agrupando termos:
Igualando os coeficientes:

Passo 9

Resolvendo o sistema:

Passo 10

Substituindo os valores de A, B e C:

Passo 11

Agora, identificamos as transformadas inversas:
E para a segunda fração, completamos o quadrado no denominador:
Então:

Passo 12

Juntando todas as partes:
Simplificando:

Resposta

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