- Utilize transformada de Laplace para determinar a solução de cada problema, dado a seguir.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
usando a Transformada de Laplace. Para isso, precisamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace e das transformadas de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que
e
, onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a transformada:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo:
Isolando
:
Passo 5
Para simplificar, faremos a decomposição em frações parciais. Primeiro, vamos expandir o denominador:
E
Passo 6
Assim, temos:
Podemos simplificar
com
:
Passo 7
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Expandindo e agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Passo 10
Substituindo os valores de
,
e
:
Passo 11
Agora, identificamos as transformadas inversas:
E para a segunda fração, completamos o quadrado no denominador:
Então:
Passo 12
Juntando todas as partes:
Simplificando:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função com derivadas parciais contínuas até a segunda ordem. Considerando a função
, dada por
, com
e
, demonstre que
Sugestão: Use a regra da cadeia.
Calcule
para
(a) uma série de senos;
(b) uma série de cossenos.