Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se: f(x, y)=x^2+4 y e R=[0,2] times[0,3]

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a integral dupla de sobre a região . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar uma função de duas variáveis em uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a região integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral0^2 integral0^3 (x^2 + 4y) , dy , dx é um retângulo no plano , com variando de 0 a 2 e variando de 0 a 3. Assim, a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a integral0^3 (x^2 + 4y) , dy = integral0^3 x^2 , dy + integral0^3 4y , dy :
x^2 times 3 - x^2 times 0 = 3x^2
A primeira integral é 4 times 92 - 4 times 0 = 18 avaliada de 0 a 3:
A segunda integral é avaliada de 0 a 3:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão resultante com respeito a integral0^2 (3x^2 + 18) , dx = 3 integral0^2 x^2 , dx + 18 integral0^2 dx :
3 times 83 - 0 = 8
A primeira integral é 18 times 2 - 0 = 36 avaliada de 0 a 2:
A segunda integral é avaliada de 0 a 2:

Resposta

Somando os resultados das integrais, temos . Portanto, o valor da integral dupla é 44.

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Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = y^2 - x^2 e R = [-1, 1] x [1, 3]