Resolva o problema de valor inicial:
cc y^prime+(1-2 x) y & =x e^-x y(0) & =2
Dica: Use que integral x e^-x d x=-e^x(x+1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear e uma condição inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial:
y' + (1 - 2x)y = xe^-x
Aqui, e . Esses são os termos que vamos usar para encontrar o fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx . A fórmula para isso é:
mu(x) = e^integral (1 - 2x) dx = e^x - x^2
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação diferencial por e^x - x^2 y' + e^x - x^2 (1 - 2x)y = xe^-x e^x - x^2 :
ddx ( e^x - x^2 y ) = xe^-x e^x - x^2
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral ddx ( e^x - x^2 y ) dx = integral xe^-x e^x - x^2 dx
O lado esquerdo simplifica para:
e^x - x^2 y = integral xe^-x e^x - x^2 dx + C

Passo 6

Vamos simplificar a integral do lado direito. Observamos que:
xe^-x e^x - x^2 = x e^-x^2
Então, a integral fica:
integral x e^-x^2 dx
Sabemos que:
integral x e^-x^2 dx = -12 e^-x^2 + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação, temos:
e^x - x^2 y = -12 e^-x^2 + C
Agora, isolamos y = -12 e^-x + C e^-(x - x^2) :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial 2 = -12 e^0 + C e^0 para encontrar a constante 2 = -12 + C :
C = 2 + 12 = 52

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -12 e^-x + 52 e^-(x - x^2)

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