Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está “empilhado” entre a parte de cima definida pela função
e a parte de baixo, que é um retângulo no plano
com os limites
. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o volume abaixo de uma superfície
sobre uma região
, usamos uma integral dupla:
Aqui, nossa função é
e a região
é o retângulo definido por
variando de -1 a 1 e
variando de 1 a 3.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla com os limites de integração corretos:
Primeiro, a gente integra em relação a
de -1 a 1, depois integra o resultado em relação a
de 1 a 3.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Isso significa que tratamos
como uma constante e integramos
e
em relação a
.
Integral de
em relação a
é
.
Integral de
em relação a
é
.
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Avaliar nos limites de
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
de 1 a 3:
Integral de
em relação a
é
.
Integral de
em relação a
é
.
Então, a integral fica:
Passo 7
Avaliar nos limites de
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é 16 unidades cúbicas.
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e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Calcule
, se:
e
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e inferiormente pelo retângulo dado:
e
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e inferiormente pelo retângulo dado:
e