Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = y^2 - x^2 e R = [-1, 1] x [1, 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está “empilhado” entre a parte de cima definida pela função e a parte de baixo, que é um retângulo no plano com os limites . O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o volume abaixo de uma superfície sobre uma região , usamos uma integral dupla:
Aqui, nossa função é e a região é o retângulo definido por variando de -1 a 1 e variando de 1 a 3.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla com os limites de integração corretos:
Primeiro, a gente integra em relação a de -1 a 1, depois integra o resultado em relação a de 1 a 3.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Isso significa que tratamos como uma constante e integramos e em relação a .
Integral de em relação a é .
Integral de em relação a é .
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Avaliar nos limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a de 1 a 3:
Integral de em relação a é .
Integral de em relação a é .
Então, a integral fica:

Passo 7

Avaliar nos limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é 16 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = 2 x + 3 y + 6 e R = [-1, 2] x [2, 3]
Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se: f(x, y)=x^2+4 y e R=[0,2] times[0,3]
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = raiz(9 - y^2) e R = [0,4] x [0,2]
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = cos(2x) + sen(2y) e R = [0, pi/2] x [0, pi/2]