Determine a soluçāo do problema de valor inicial dado por
y' + 2/t y = t, y(2) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que parece assim:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Esse fator é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante , multiplicamos toda a equação original por ele:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Exercício 1 Calcule as integrais de linha:
a) integralC 2 x d s, em que C=C1 cup C2, com C1 arco da curva y=x^2 ligando o ponto (0,0) ao ponto (1,1), e C2 o segmento de reta ligando o ponto (1,1) ao ponto (1,2).
Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
c) F(x, y, z) = (x + y) i + (y + z) j + (x + z) k sobre um objeto que se move sobre o segmento de reta ligando a origem ao ponto (1, 2, 4).
Resolva o problema de valor inicial:
cc y^prime+(1-2 x) y & =x e^-x y(0) & =2
Dica: Use que integral x e^-x d x=-e^x(x+1).
Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se: f(x, y)=x^2+4 y e R=[0,2] times[0,3]