Determine a soluçāo do problema de valor inicial dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que parece assim:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Esse fator é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por ele:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Exercício 1 Calcule as integrais de linha:
a) s, em que
, com
arco da curva
ligando o ponto
ao ponto
, e
o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
a)
Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
c) sobre um objeto que se move sobre o segmento de reta ligando a origem ao ponto
.
c)
Resolva o problema de valor inicial:
Dica: Use que
.
Calcule
, se:
e