Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está por baixo do gráfico da função
e por cima de um retângulo definido por
. Isso vai envolver cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta bacana para achar volumes assim.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular o volume desse sólido, a gente vai usar uma integral dupla sobre a região
. A fórmula geral para o volume é:
Aqui,
representa o elemento de área na região
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Nossa região
significa que
varia de -1 a 2 e
varia de 2 a 3. Então, a integral dupla fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Integramos
em
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
, se:
e
Resolva o problema de valor inicial:
Dica: Use que
.
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e