Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = 2 x + 3 y + 6 e R = [-1, 2] x [2, 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está por baixo do gráfico da função e por cima de um retângulo definido por . Isso vai envolver cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta bacana para achar volumes assim.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular o volume desse sólido, a gente vai usar uma integral dupla sobre a região . A fórmula geral para o volume é:
Aqui, representa o elemento de área na região .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Nossa região significa que varia de -1 a 2 e varia de 2 a 3. Então, a integral dupla fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Integramos em :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se: f(x, y)=x^2+4 y e R=[0,2] times[0,3]
Resolva o problema de valor inicial:
cc y^prime+(1-2 x) y & =x e^-x y(0) & =2
Dica: Use que integral x e^-x d x=-e^x(x+1).
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = y^2 - x^2 e R = [-1, 1] x [1, 3]
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = raiz(9 - y^2) e R = [0,4] x [0,2]