Calcule a integral integral duplaR 1(x^2+y^2)^32 d A onde R é a região do primeiro quadrante entre as retas x+y=1 e x+y=2.
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
pi6
pi3
12
pi4
Limpar minha escolha
Anterior
Próximo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante entre as retas e . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que usamos coordenadas polares aqui. Em coordenadas cartesianas, a expressão pode ser complicada de integrar. Nas coordenadas polares, onde e , essa expressão simplifica para .

Passo 3

Também precisamos converter a área diferencial integral duplaR 1(x^2+y^2)^32 , dA = integral duplaR 1r^3 cdot r , dr , dtheta = integral duplaR 1r^2 , dr , dtheta de cartesianas para polares. Sabemos que . Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. A região rcostheta + rsintheta = c Rightarrow r(costheta + sintheta) = c Rightarrow r = ccostheta + sintheta está no primeiro quadrante entre as retas 1costheta + sintheta <= r <= 2costheta + sintheta e .
Em coordenadas polares, a equação se transforma em:
Portanto, para e , temos os limites para :

Passo 5

No primeiro quadrante, 0 <= theta <= pi2 e 1costheta + sintheta <= r <= 2costheta + sintheta varia de a . Então, nossos limites de integração ficam:

Passo 6

Vamos escrever a integral com esses limites:
integral0^pi2 integral1costheta + sintheta^2costheta + sintheta 1r^2 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral1costheta + sintheta^2costheta + sintheta 1r^2 , dr = [ -1r ]1costheta + sintheta^2costheta + sintheta = -12costheta + sintheta + 11costheta + sintheta = -costheta + sintheta2 + (costheta + sintheta) = costheta + sintheta2 :

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^pi2 costheta + sintheta2 , dtheta
Podemos separar essa integral:
12 integral0^pi2 costheta , dtheta + 12 integral0^pi2 sintheta , dtheta

Passo 9

Calculando cada parte:
12 [ sintheta ]0^pi2 + 12 [ -costheta ]0^pi2 = 12 (1 - 0) + 12 (0 - (-1)) = 12 + 12 = 1

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados