Calcule a integral onde é a região do primeiro quadrante entre as retas .
Sugestão: use coordenadas polares.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante entre as retas e . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que usamos coordenadas polares aqui. Em coordenadas cartesianas, a expressão pode ser complicada de integrar. Nas coordenadas polares, onde e , essa expressão simplifica para .

Passo 3

Também precisamos converter a área diferencial de cartesianas para polares. Sabemos que . Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. A região está no primeiro quadrante entre as retas e .
Em coordenadas polares, a equação se transforma em:
Portanto, para e , temos os limites para :

Passo 5

No primeiro quadrante, varia de a . Então, nossos limites de integração ficam:

Passo 6

Vamos escrever a integral com esses limites:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Podemos separar essa integral:

Passo 9

Calculando cada parte:

Resposta

A integral vale .

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2. .
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