Calcule a integral
onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
.
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
Limpar minha escolha
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Sugestão: use coordenadas polares.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
e
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que usamos coordenadas polares aqui. Em coordenadas cartesianas, a expressão
pode ser complicada de integrar. Nas coordenadas polares, onde
e
, essa expressão simplifica para
.
Passo 3
Também precisamos converter a área diferencial
de cartesianas para polares. Sabemos que
. Então, nossa integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. A região
está no primeiro quadrante entre as retas
e
.
Em coordenadas polares, a equação
se transforma em:
Portanto, para
e
, temos os limites para
:
Passo 5
No primeiro quadrante,
varia de
a
. Então, nossos limites de integração ficam:
Passo 6
Vamos escrever a integral com esses limites:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Podemos separar essa integral:
Passo 9
Calculando cada parte:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
© ;
©
Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
2. .
2.
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(a) ;
(a)