Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(a) sumn=0^infty n^22^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a convergência da série sumn=0^infty n^22^n usando o Teste de Comparação por Limites. Isso faz parte do estudo de Séries Infinitas e Teste de Comparação por Limites. Para resolver, vamos precisar comparar a série dada com outra série cujo comportamento de convergência já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série de referência. Se o limite da razão entre os termos das duas séries for um número positivo e finito, ambas têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Escolhemos uma série de referência que seja mais simples e cujo comportamento seja conhecido. No caso da série sumn=0^infty n^22^n, uma boa escolha é a série geométrica sumn=0^infty 12^n, que sabemos que converge porque é uma série geométrica com razão r = 12 < 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
L = limn to infty n^22^n12^n = limn to infty n^2 = infty

Passo 5

O limite L deu infinito, que é maior que zero e finito (bem, na verdade, é infinito, mas isso indica que a série original cresce mais rápido que a série de referência). Porém, no Teste de Comparação por Limites clássico, precisamos que 0 < L < infty para concluir a convergência ou divergência conjuntamente. Como L não satisfaz essa condição diretamente, precisamos reavaliar nossa escolha de série de referência.

Passo 6

Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando que n^2 cresce mais lentamente que 2^n, podemos usar o fato de que para grandes valores de n, 2^n domina n^2. Assim, intuitivamente, a série sumn=0^infty n^22^n deve convergir.

Passo 7

Para confirmar isso, podemos usar o Teste da Razão (Teste de D’Alembert), que diz que se limn to infty | an+1an | = L e L < 1, a série converge. Calculando:
L = limn to infty (n+1)^2/2^n+1n^2/2^n = limn to infty (n+1)^22 n^2 = 12 limn to infty (1 + 1n)^2 = 12 < 1

Resposta

Portanto, a série sumn=0^infty n^22^n converge.

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