Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(a) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a convergência da série usando o Teste de Comparação por Limites. Isso faz parte do estudo de Séries Infinitas e Teste de Comparação por Limites. Para resolver, vamos precisar comparar a série dada com outra série cujo comportamento de convergência já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série de referência. Se o limite da razão entre os termos das duas séries for um número positivo e finito, ambas têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 3
Escolhemos uma série de referência que seja mais simples e cujo comportamento seja conhecido. No caso da série , uma boa escolha é a série geométrica , que sabemos que converge porque é uma série geométrica com razão .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
Passo 5
O limite deu infinito, que é maior que zero e finito (bem, na verdade, é infinito, mas isso indica que a série original cresce mais rápido que a série de referência). Porém, no Teste de Comparação por Limites clássico, precisamos que para concluir a convergência ou divergência conjuntamente. Como não satisfaz essa condição diretamente, precisamos reavaliar nossa escolha de série de referência.
Passo 6
Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando que cresce mais lentamente que , podemos usar o fato de que para grandes valores de , domina . Assim, intuitivamente, a série deve convergir.
Passo 7
Para confirmar isso, podemos usar o Teste da Razão (Teste de D’Alembert), que diz que se e , a série converge. Calculando: