Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a convergência da série usando o Teste de Comparação por Limites. Isso faz parte do estudo de Séries Infinitas e Teste de Comparação por Limites. Para resolver, vamos precisar comparar a série dada com outra série cujo comportamento de convergência já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série de referência. Se o limite da razão entre os termos das duas séries for um número positivo e finito, ambas têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Escolhemos uma série de referência que seja mais simples e cujo comportamento seja conhecido. No caso da série , uma boa escolha é a série geométrica , que sabemos que converge porque é uma série geométrica com razão .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:

Passo 5

O limite deu infinito, que é maior que zero e finito (bem, na verdade, é infinito, mas isso indica que a série original cresce mais rápido que a série de referência). Porém, no Teste de Comparação por Limites clássico, precisamos que para concluir a convergência ou divergência conjuntamente. Como não satisfaz essa condição diretamente, precisamos reavaliar nossa escolha de série de referência.

Passo 6

Vamos tentar uma abordagem diferente. Observando que cresce mais lentamente que , podemos usar o fato de que para grandes valores de , domina . Assim, intuitivamente, a série deve convergir.

Passo 7

Para confirmar isso, podemos usar o Teste da Razão (Teste de D’Alembert), que diz que se e , a série converge. Calculando:

Resposta

Portanto, a série converge.

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Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
2. .
Calcule a integral onde é a região do primeiro quadrante entre as retas .
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1




Limpar minha escolha
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Determine o valor da área da superfície gerada pela rotação da parte da curva entre e em torno do eixo .
Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
  1. ,