Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
2. .

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma região no plano usando coordenadas polares. As condições que temos são:
Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas polares, que são uma maneira de representar pontos no plano usando a distância do ponto à origem ( ) e o ângulo ( ) que esse ponto faz com o eixo positivo . Vamos precisar entender essas condições para desenhar a região correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que e representam nas coordenadas polares:
  • é a distância do ponto até a origem. A condição quer dizer que estamos considerando pontos que estão entre 2 e 4 unidades de distância da origem.
  • é o ângulo em radianos que o ponto faz com o eixo positivo . A condição define um intervalo de ângulos.

Passo 3

Vamos desenhar isso passo a passo:
  1. Desenhar os círculos de raio 2 e 4: Como varia de 2 a 4, vamos desenhar dois círculos concêntricos ao redor da origem, um com raio 2 e outro com raio 4.
  2. Determinar os ângulos envolvidos: é 135 graus e é 315 graus. Esses ângulos estão localizados no segundo e quarto quadrantes, respectivamente.
  3. Desenhar as linhas angulares: A partir da origem, desenhe uma linha para e outra para . Essas linhas vão delimitar a região angular que estamos considerando.
  4. Sombrar a região desejada: A região que satisfaz as condições é a área entre os dois círculos (raio 2 e 4) e entre os dois ângulos definidos. Basicamente, é uma “fatia de anel” que começa no segundo quadrante e vai até o quarto quadrante.

Resposta

Portanto, a região no plano que atende às condições e é uma fatia de anel entre os círculos de raio 2 e 4, que se estende do ângulo (135 graus) ao (315 graus). Imagine um anel dividido em uma seção que cobre parte do segundo, terceiro e quarto quadrantes do plano cartesiano.

Exercícios relacionados

Calcule a integral onde é a região do primeiro quadrante entre as retas .
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1




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Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
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Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(a) ;
Determine o valor da área da superfície gerada pela rotação da parte da curva entre e em torno do eixo .