Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
2.
.
2.
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma região no plano usando coordenadas polares. As condições que temos são:
Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas polares, que são uma maneira de representar pontos no plano usando a distância do ponto à origem (
) e o ângulo (
) que esse ponto faz com o eixo positivo
. Vamos precisar entender essas condições para desenhar a região correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
e
representam nas coordenadas polares:
-
é a distância do ponto até a origem. A condição quer dizer que estamos considerando pontos que estão entre 2 e 4 unidades de distância da origem. -
é o ângulo em radianos que o ponto faz com o eixo positivo . A condição define um intervalo de ângulos.
Passo 3
Vamos desenhar isso passo a passo:
- Desenhar os círculos de raio 2 e 4: Como
varia de 2 a 4, vamos desenhar dois círculos concêntricos ao redor da origem, um com raio 2 e outro com raio 4. - Determinar os ângulos envolvidos:
é 135 graus e é 315 graus. Esses ângulos estão localizados no segundo e quarto quadrantes, respectivamente. - Desenhar as linhas angulares: A partir da origem, desenhe uma linha para
e outra para . Essas linhas vão delimitar a região angular que estamos considerando. - Sombrar a região desejada: A região que satisfaz as condições é a área entre os dois círculos (raio 2 e 4) e entre os dois ângulos definidos. Basicamente, é uma “fatia de anel” que começa no segundo quadrante e vai até o quarto quadrante.
Resposta
Portanto, a região no plano que atende às condições
e
é uma fatia de anel entre os círculos de raio 2 e 4, que se estende do ângulo
(135 graus) ao
(315 graus). Imagine um anel dividido em uma seção que cobre parte do segundo, terceiro e quarto quadrantes do plano cartesiano.
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Calcule a integral
onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
.
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
Limpar minha escolha
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Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
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Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
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Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(a) ;
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