Use o Teorema de Stokes para calcular ointC F d R, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F(x, y, z)=(y+z,-z, y), C é a curva obtida como interseção do cilindro x^2+y^2=2 y com o plano y=z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão usando o Teorema de Stokes, que faz parte do cálculo vetorial. O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha fechada da função vetorial ao longo da curva , que é a interseção do cilindro com o plano . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o cilindro x^2 + y^2 = 2y implies x^2 + y^2 - 2y = 0 implies x^2 + (y - 1)^2 = 1 de uma forma mais conveniente. Podemos completar o quadrado na equação do cilindro:
Isso mostra que o cilindro tem raio 1 e está centrado ao longo da linha .

Passo 3

A curva x^2 + (y - 1)^2 = 1 e z = y é a interseção desse cilindro com o plano r(y) = (x, y, y) . Vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo. Como , podemos usar como parâmetro. A equação do cilindro se torna:
Podemos representar como:
Onde varia de acordo com a equação do cilindro.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que:
ointC F cdot dR = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • é uma superfície limitada por .
  • é o rotacional de .
  • é o vetor normal à superfície.
Vamos calcular o rotacional de .

Passo 5

O rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y + z & -z & y é dado por:
nabla times F = ( partial ypartial y - partial (-z)partial z ) i - ( partial ypartial x - partial (y + z)partial z ) j + ( partial (-z)partial x - partial (y + z)partial y ) k
Calculando o determinante:
nabla times F = (1 - (-1)) i - (0 - 1) j + (0 - 1) k = 2i + j - k
Simplificando:

Passo 6

Precisamos agora determinar a superfície n = 1raiz1 + (-1)^2 (0, 1, -1) = 1raiz2 (0, 1, -1) limitada por e o vetor normal . Podemos escolher como parte do plano dentro do cilindro. Nesse caso, o vetor normal ao plano pode ser encontrado a partir da equação do plano.
A equação do plano pode ser reescrita como , então o vetor normal é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n = (2, 1, -1) cdot (0, 1raiz2, -1raiz2) = 2 cdot 0 + 1 cdot 1raiz2 + (-1) cdot (-1raiz2) = 1raiz2 + 1raiz2 = 2raiz2 = raiz2 :

Passo 8

Agora precisamos determinar a área Área = pi r^2 = pi (1)^2 = pi da superfície . Como está no plano e dentro do cilindro , a projeção de no plano é um círculo de raio 1 centrado em .
A área desse círculo é:
Á

Passo 9

Finalmente, aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dR = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = raiz2 cdot pi = pi raiz2

Resposta

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