Use o Teorema de Stokes para calcular , C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. , C é a curva obtida como interseção do cilindro com o plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão usando o Teorema de Stokes, que faz parte do cálculo vetorial. O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha fechada da função vetorial ao longo da curva , que é a interseção do cilindro com o plano . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional de .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o cilindro de uma forma mais conveniente. Podemos completar o quadrado na equação do cilindro:
Isso mostra que o cilindro tem raio 1 e está centrado ao longo da linha .
Passo 3
A curva é a interseção desse cilindro com o plano . Vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo. Como , podemos usar como parâmetro. A equação do cilindro se torna:
Podemos representar como:
Onde varia de acordo com a equação do cilindro.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Onde:
é uma superfície limitada por .
é o rotacional de .
é o vetor normal à superfície.
Vamos calcular o rotacional de .
Passo 5
O rotacional de é dado por:
Calculando o determinante:
nabla times F = (1 - (-1)) i - (0 - 1) j + (0 - 1) k = 2i + j - k
Simplificando:
Passo 6
Precisamos agora determinar a superfície n = 1raiz1 + (-1)^2 (0, 1, -1) = 1raiz2 (0, 1, -1) limitada por e o vetor normal . Podemos escolher como parte do plano dentro do cilindro. Nesse caso, o vetor normal ao plano pode ser encontrado a partir da equação do plano.
A equação do plano pode ser reescrita como , então o vetor normal é:
Agora precisamos determinar a área Área = pi r^2 = pi (1)^2 = pi da superfície . Como está no plano e dentro do cilindro , a projeção de no plano é um círculo de raio 1 centrado em .
A área desse círculo é:
Á
Passo 9
Finalmente, aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dR = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = raiz2 cdot pi = pi raiz2