Calcule a integral
integral duplaR y d A
em que R é definido por y^2=4-4 x, y^2=4+4 x.
Utilize a seguinte transformação: x=u^2-v^2 e y=2 u v, considere y >= 0 e a região R transformada é a região S=(u, v) / 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1, isto é, u varia de 0 até 1 e v varia de 0 até 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde a região é definida pelas equações e . Vamos usar uma transformação de coordenadas para facilitar esse cálculo. A matéria aqui envolve integração dupla e mudança de variáveis usando transformações. Precisaremos entender como fazer a mudança de coordenadas e calcular o determinante jacobiano para transformar a integral na nova região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a transformação que vamos usar:
x = u^2 - v^2, y = 2uv
Essa transformação vai nos ajudar a mapear a região para uma nova região , onde e variam de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
partial xpartial u = 2u, partial xpartial v = -2v
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial u = 2v, partial ypartial v = 2u
J = (2u)(2u) - (-2v)(2v) = 4u^2 + 4v^2 = 4(u^2 + v^2)
Então,
Esse determinante nos ajuda a converter a área da região para a região .

Passo 4

Agora, substituímos na integral original usando a transformação e o jacobiano:
integral duplaR y , dA = integral duplaS y cdot |J| , du , dv
Sabemos que integral duplaS 2uv cdot 4(u^2 + v^2) , du , dv = integral duplaS 8uv(u^2 + v^2) , du , dv e , então:
A região é definida por e .

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral dupla:
integral0^1 integral0^1 8uv(u^2 + v^2) , du , dv
Primeiro, expandimos o integrando:
8uv(u^2 + v^2) = 8u^3v + 8uv^3
Então, a integral fica:
integral0^1 ( integral0^1 8u^3v + 8uv^3 , du ) dv

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^1 8u^3v , du = 8v [ u^44 ]0^1 = 8v ( 14 - 0 ) = 2v :
integral0^1 8uv^3 , du = 8v^3 [ u^22 ]0^1 = 8v^3 ( 12 - 0 ) = 4v^3
integral0^1 (2v + 4v^3) , dv
Então, a integral se transforma em:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^1 2v , dv = [ v^2 ]0^1 = 1 - 0 = 1 :
integral0^1 4v^3 , dv = 4 [ v^44 ]0^1 = 4 ( 14 - 0 ) = 1
1 + 1 = 2
Somando os resultados:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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