Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, mais especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar integrais que têm potências de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral:
. A ideia é simplificar isso usando uma substituição. Perceba que temos
elevado a uma potência e multiplicado por
. Isso é perfeito para usar uma substituição u.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição: Seja
. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir o diferencial.
Passo 4
Derivando u em relação a t, temos:
Isso significa que
. Viu como isso simplifica? Agora podemos substituir na integral original.
Passo 5
Substituindo na integral, ficamos com:
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.
Passo 6
Vamos integrar
em relação a u. A regra para integrar potências é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Onde C é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos de volta o valor de u que definimos inicialmente. Lembrando que
, temos:
Resposta
A integral indefinida é igual a
.