Calcule a integral indefinida: integral sen^19(t-1) cos (t-1) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral sen^19(t-1) cos (t-1) , dt. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, mais especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar integrais que têm potências de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: sen^19(t-1) cos (t-1). A ideia é simplificar isso usando uma substituição. Perceba que temos sen(t-1) elevado a uma potência e multiplicado por cos(t-1). Isso é perfeito para usar uma substituição u.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição: Seja u = sen(t-1). Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir o diferencial.

Passo 4

Derivando u em relação a t, temos:
dudt = cos(t-1)
Isso significa que du = cos(t-1) , dt. Viu como isso simplifica? Agora podemos substituir na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral, ficamos com:
integral u^19 , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 6

Vamos integrar u^19 em relação a u. A regra para integrar potências é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
integral u^19 , du = u^2020 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta o valor de u que definimos inicialmente. Lembrando que u = sen(t-1), temos:
sen^20(t-1)20 + C

Resposta

A integral indefinida é igual a dfracsen^20(t-1)20 + C.

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