Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) perpendiculares(s) à reta r dada:
f(x) = x^4 - 6 x^2 + x r: 7x + y - 4 = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as retas tangentes ao gráfico da função que são perpendiculares à reta . Isso envolve conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação das tangentes e geometria para lidar com a perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Vamos começar determinando a inclinação da reta . A equação da reta está na forma geral . Para encontrar a inclinação, precisamos reescrevê-la na forma reduzida , onde é a inclinação.
Então, a inclinação de é .

Passo 3

Como queremos as retas tangentes que são perpendiculares a , precisamos lembrar que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . Se a inclinação de é , a inclinação das retas perpendiculares será:
Então, as tangentes que procuramos têm inclinação .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação das tangentes ao gráfico de . Para isso, precisamos calcular a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto :

Passo 5

Queremos que a inclinação das tangentes seja igual a . Portanto, igualamos a derivada a :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Esta equação pode ser resolvida por métodos numéricos ou fatoração, mas para simplificar, vamos tentar encontrar raízes racionais. Aplicando o Teorema das Raízes Racionais, possíveis raízes são .
Testando :
Testando :
Parece que não há raízes racionais facilmente identificáveis. Portanto, usaremos métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas para .

Passo 7

Usando uma calculadora ou software de matemática para resolver a equação , encontramos as raízes aproximadas:

Passo 8

Com o valor de , podemos encontrar o ponto de tangência substituindo na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 9

Agora, sabemos que a inclinação da tangente é e passa pelo ponto . Usando a forma ponto-inclinação da equação da reta:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de que é perpendicular à reta é:

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