Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as retas tangentes ao gráfico da função
que são perpendiculares à reta
. Isso envolve conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação das tangentes e geometria para lidar com a perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Vamos começar determinando a inclinação da reta
. A equação da reta está na forma geral
. Para encontrar a inclinação, precisamos reescrevê-la na forma reduzida
, onde
é a inclinação.
Então, a inclinação de
é
.
Passo 3
Como queremos as retas tangentes que são perpendiculares a
, precisamos lembrar que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
. Se a inclinação de
é
, a inclinação
das retas perpendiculares será:
Então, as tangentes que procuramos têm inclinação
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação das tangentes ao gráfico de
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
:
Passo 5
Queremos que a inclinação das tangentes seja igual a
. Portanto, igualamos a derivada a
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Esta equação pode ser resolvida por métodos numéricos ou fatoração, mas para simplificar, vamos tentar encontrar raízes racionais. Aplicando o Teorema das Raízes Racionais, possíveis raízes são
.
Testando
:
Testando
:
Parece que não há raízes racionais facilmente identificáveis. Portanto, usaremos métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas para
.
Passo 7
Usando uma calculadora ou software de matemática para resolver a equação
, encontramos as raízes aproximadas:
Passo 8
Com o valor de
, podemos encontrar o ponto de tangência substituindo
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 9
Agora, sabemos que a inclinação da tangente é
e passa pelo ponto
. Usando a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
que é perpendicular à reta
é: