Calcule: integral-pi^0 sen(3 x) d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos calcular a integral definida de sen(3x) no intervalo de -pi a 0. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, e para resolver, vamos usar técnicas de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma regra básica de integração: a integral de sen(kx) , dx é - dfrac1k cos(kx) + C, onde k é uma constante e C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função sen(3x), temos:
integral sen(3x) , dx = -dfrac13 cos(3x) + C
Aqui, k = 3.

Passo 4

Agora, como a integral é definida de -pi a 0, precisamos avaliar a antiderivada nesses limites. Ou seja:
[ -dfrac13 cos(3x) ]-pi^0 = ( -dfrac13 cos(3 cdot 0) ) - ( -dfrac13 cos(3 cdot (-pi)) )

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  • cos(0) = 1
  • cos(-3pi) = cos(3pi) = -1 (já que o cosseno é uma função par)
Substituindo:
- dfrac13 cdot 1 - ( -dfrac13 cdot (-1) ) = -dfrac13 - dfrac13 = -dfrac23

Resposta

O valor da integral é -dfrac23.

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