Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
d) sumn=1^infty[(14)^n+(34)^n]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os 5 primeiros termos das séries geométricas dadas, descobrir se cada uma delas converge ou diverge, e se elas convergem, encontrar a soma delas. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma soma de termos onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas séries geométricas que temos aqui:
sumn=1^infty(14)^n e sumn=1^infty(34)^n
Cada uma dessas séries tem a forma geral de uma série geométrica: , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Vamos listar os 5 primeiros termos de cada série.
Para a série Termo 1 &= (14)^1 = 14 Termo 2 &= (14)^2 = 116 Termo 3 &= (14)^3 = 164 Termo 4 &= (14)^4 = 1256 Termo 5 &= (14)^5 = 11024 :
Termo 1 &= (34)^1 = 34 Termo 2 &= (34)^2 = 916 Termo 3 &= (34)^3 = 2764 Termo 4 &= (34)^4 = 81256 Termo 5 &= (34)^5 = 2431024
Para a série :

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas séries convergem ou divergem. Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer .
  • Para : A razão , e . Então, essa série converge.
  • Para : A razão , e . Então, essa série também converge.

Passo 5

Como ambas as séries convergem, podemos calcular a soma delas usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Para a = 14 e r = 14 :
S1 = 141 - 14 = 1434 = 13
a = 34 e r = 34
Para S2 = 341 - 34 = 3414 = 3 :

Resposta

A soma total das duas séries é:
S = S1 + S2 = 13 + 3 = 103
Portanto, ambas as séries convergem e a soma delas é .

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