Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os 5 primeiros termos das séries geométricas dadas, descobrir se cada uma delas converge ou diverge, e se elas convergem, encontrar a soma delas. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma soma de termos onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas séries geométricas que temos aqui:
Cada uma dessas séries tem a forma geral de uma série geométrica: , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 3
Vamos listar os 5 primeiros termos de cada série.
Para a série :
Para a série :
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas séries convergem ou divergem. Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer .
Para : A razão , e . Então, essa série converge.
Para : A razão , e . Então, essa série também converge.
Passo 5
Como ambas as séries convergem, podemos calcular a soma delas usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Para a = 14 e r = 14 :
S1 = 141 - 14 = 1434 = 13
a = 34 e r = 34
Para S2 = 341 - 34 = 3414 = 3 :
Resposta
A soma total das duas séries é:
S = S1 + S2 = 13 + 3 = 103
Portanto, ambas as séries convergem e a soma delas é .